Re: [請益] 為何"細長煙囪"倒塌時會攔腰折斷？

看板Physics作者mgtsai時間15年前 (2009/01/17 20:19)推噓12(12推 0噓 1→)

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※ 引述《alenbe (生活)》之銘言： : 標題: [請益] 為何"細長煙囪"倒塌時會攔腰折斷？大致地解釋，煙囪因受重力影響而倒下在倒下的過程，重力對煙囪施以力矩，使得煙囪因力矩影響而存在角加速度在煙囪尚未折斷之前在瞬間煙囪的每個部位的角加速度應相等 (剛體的基本性質) 所以，距離煙囪根部愈遠處，其垂直於煙囪之加速度分量愈大 (水平於煙囪之加速度分量為煙囪進行圓周運動之向心加速度) 為了提供其垂直於煙囪之加速度分量，煙囪的重力提供其來源可是，煙囪每個部位單位質量所受的重力均相同 (即重力加速度) 但煙囪上半部的加速度卻要比下半部來得大所以，除了自身的重力之外煙囪上半部還受到一部分下半部往下牽引的力，才有那麼快的加速度而下半部則受到一部分上半部往上牽引的力絆位，加速度才比較慢所以，在過程中，煙囪存在一處一直受到極大的剪力當傾斜到一個程度後，該處的應力值超過煙囪可承受的範圍就被硬生生折斷了 ******************** 假設均勻煙囪長度為 L，質量為 M (單位長度質量ρ=M/L) 考處煙囪傾倒與地面夾角為 θ 時的狀況距離根部 X 處，煙囪所受的內應力為 f(X) (方向為煙囪上方部位對下向部位的施力) 將 f(X) 拆為兩個分量：重直於煙囪方向為 h(X) (= f(X) cosθ，剪力) 平行於煙囪方向為 k(X) (= f(X) sinθ，正值為壓縮力，負值為伸張力) 此時，煙囪因重力作用，所受之力矩為 1/2 MgL cosθ 以根部為參考點，煙囪的慣量為 1/3 M L^2 換句話說，當煙囪與地面夾角為 θ 時，其角加速度為 α = 3/2 g/L cosθ ↗╲ ╱ ╲ ╱ ◢◣ ╱ ◢ ◣ ╱ ◢ ◣ ╱ ╲◢ ◣ L ΔX◤◥ f(X+ΔX) ◤ ╱ ↗╲◤ ◥↙ ◤ ╱ ╱ ◢◣ρgΔX◥ ◤ ╱ ╱ ◢ ↗◣ ↓ ◥◤ ╱ X ◢ -f(X) ◣↙ ◢ ╱ ╱ ◢ ωX^2ρΔX◣◢↘αXρΔX ↙ ╱ ◢ ◤ ╲↙ ◢ ◤ ╲◢ ◤ ◥ ◤ ◥ ◤ ◥ ◤ ◥◤θ ▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔▔ 考慮距離根部 X ~ X+ΔX 紅色區塊的受力情形：重力 ρgΔX 上方煙囪所施予的應力 f(X+ΔX) 下方煙囪所施予的應力 -f(X) 此三力之合力使得紅色區塊產生加速度，拆成兩個分量垂直於煙囪方向的分量為 αX = 3/2 g X/L cosθ 水平於煙囪的分量為 ωX^2，即向心加速度考慮垂直於煙囪方向的分量，可得 h(X+ΔX) - h(X) + ρgΔX cosθ = 3/2 g X/L ρΔX cosθ h'(X) ΔX = (3/2 X/L - 1) ρgΔX cosθ h'(X) = (3/2 X/L - 1) ρg cosθ h(X) = (3/4 X^2/L - X + L/4) ρg cosθ (取 h(L) = 0) 所以 h(X) 的最大值發生於 X = 2/3 L 處即，整根煙囪所受的剪力於 X = 2/3 L 處最大 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 60.250.129.52

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