Re: [問題] 還是想不通...

看板Physics作者zweisteine (聖人見微以知萌)時間16年前 (2008/09/02 17:44)推噓11(11推 0噓 5→)

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※ 引述《Qubit (逼巴你個隆地咚啊)》之銘言： : 請問四維空間座標裡 : 第四個基底是時間？ : 還是無法想通耶 : 為什麼第一二三個基底 : 都是空間(x,y,z) : 為什麼第四維就是時間 : 而且用三維的眼光來看二維 : 其實也可以幾乎同時在一個地方 : 但卻不需要用到時間來描述 : 為什麼四維就需要了呢先花一分鐘想一下這個問題：為什麼相對論提出來之前沒有人講過時空這個東西？為什麼牛頓力學一樣有時間的概念，卻沒有人說它是四維時空？座標系是人定的，所以物理定律不會受到x軸往哪個方向而改變。當我們把某個物理量用某座標系的數值來表示的時候，這個物理量會在座標系上有某種對稱性。所以我們利用向量來描述這些物理量，利用線性空間的對稱性來滿足物理上的對稱性。牛頓力學的架構，就是這些物理量有三維空間的旋轉對稱：以位移來說，座標系轉一個角度，分量雖然會改變，但是大小不會改變。也就是存在一個不變量ds^2=dx^2+dy^2+dz^2，這時我們會說位移向量在三維空間旋轉下協變(covariant)。另外速度、加速度、力這些物理量也全部都是用同樣的方式變換，而且也都有類似的不變量(就是速率、加速度的大小、力的大小)。以數學上的說法來說就是牛頓力學的架構在SO(3)的變換下具有不變性。所以時間是和空間無關的另一個物理量，就像溫度一樣。當然可以定義一種五個分量的東西，像是(x,y,z,t,T)，在數學上這東西當然是R^5裡面的向量，但是就像前面所說，物理上使用向量就是因為這些物理量有某些特殊的對稱性， SO(3)xO(1)xO(1)並沒有比SO(3)多出什麼有趣的東西，所以除了表示上方便的特殊情形外，不會用五維空間向量來表示這個物理量。那麼到了狹義相對論發生了什麼事？首先，伽利略變換不再適用，取而代之的是落倫茲變換。座標系O'沿著座標系O的x軸相對運動的時候， O'的x'座標和t'座標是O座標系x和t的某種線性組合，先姑且把這種變換叫做x方向的boost，除此之外當然還有沿著y方向和z方向的boost。另外可能的座標變換就是牛頓力學中已經有的，沿著某個軸的三維空間旋轉。然後我們可以發現，我們可以連續做好幾個不同方向的boost，甚至在中間穿插一堆旋轉，然而-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2這個量卻永遠都是不變(注意時間那項前面的負號)，情形就像在牛頓力學中，位移的大小不受座標旋轉有所改變一樣。接著我們可以發現，把能量和動量湊在一起寫成一個四分量的東西(E/c,Px,Py,Pz)，這東西居然和(ct,x,y,z)用一樣的方式變換，而且有一個類似的不變量： -(mc^2)^2=-E^2+(cPx)^2+(cPy)^2+(cPz)^2 (boost到靜止座標系，就是E=mc^2這道有名的式子) 實際上，三個方向的boost和三個方向的旋轉形成一個群，也就是SO(3,1)， (時間,位置)和(能量,動量)這兩個東西在SO(3,1)的變換下存在不變量，我們可以把這兩個量定義成一個特別的線性空間的向量，在這定義下這個不變量就是這些向量自己和自己內積。這個線性空間的自由度是4，就是所謂的四維時空。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 218.166.51.11 ※ 編輯: zweisteine 來自: 218.166.51.11 (09/02 17:45)

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sukeda

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louis925

09/02 18:13, , 2^F

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exponential7

09/02 19:46, , 3^F

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