Re: [題目] 量子力學的矩陣證明
※ 引述《shmily000 (愛雪兒)》之銘言：
: 2
: Suppose that matrix A is diagonalizable , prove that matrix A is
: also diagonalizable .
如果A是任何矩陣的話, 該命題不一定成立
[0 0] [0 0]
Ex: A = [1 0] , A^2 =[0 0]
A^2 is diagonalizable but A is not.(雖然這例子有點鳥..)
依據breedy大的建議, 如果再加上A^2(或是A,同時成立)是invertible的條件
,則該命題是對的
大致上的想法:
(雖然原題的A是matrix, 不過當成 linear operator 處理也一樣)
令{λ_i},{v_i}各為A^2 eigenvalues和eigenvectors
由於A^2是invertible, 所以{λ_i} 皆不為0
由 A^3(v_i) = A^2(A)(v_i) = A(A^2)(v_i) = λ_i*A(v_i)
可以看出 A(v_i) 也是 A^2 的 eigenvector, eigenvalue 為 λ_i
這時就有兩種情況 :
(1) eigenvalue 為 λ_i 之 eigenspace 為 1-dimension :
此時 A(v_i) = a_i*v_i for some constant a_i
代入 A^2(v_i) = A(A(v_i)) = A(a_i*v_i) = (a_i^2)*v_i
因 A^2(v_i) = λ_i*v_i, 所以 a_i^2 = λ_i
(2) eigenvalue 為 λ_i 之 eigenspace 為 m-dimension (m > 1):
令此 eigenspace 為 V , 則對所有 V 中之 vector v , 有 A^2(v) = λ_i*v
令 U = {v belong to V | Av = αv }, W = {v belong to U | Av = βv }
其中α,β 為 x^2 = λ_i 之兩根, 則 V,W 皆為 U 之 subspace
claim : V = U ⊕ W (direct sum)
(i) 若 v 在 V∩W 中, 則 αv = Av = βv => v = 0 (因α不等於β且皆不為零)
所以 U∩W = {0}
(ii) 對任意 V 中之 v, 因 v = (α-β)^(-1){(Av + αv) - (Av + βv)}
其中(Av + αv)屬於 U , (Av + βv)屬於 W, 因此 V = U + W
從(i)(ii)可以得到 V = U ⊕ W, 因此我們知道當 A 限制在 V 上時,
可以任意取 U 中之 basis {u_(i,m)}, W 中之 basis {w_(i,n)}
從而 {u_(i,m),w_(i,n)}構成一組 A 在 V 上 之 eigenbasis
最後從(1)(2)的討論中我們可以知道如何取出一組 A 的 eigenbasis
因此 A 是 diagonalizable
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打好久...符號真不好打, 講法也一再修改
不知道這樣講合不合適..有錯請指正囉
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 61.216.98.208
推
03/14 09:38, , 1F
03/14 09:38, 1F
※ 編輯: megagoddog 來自: 61.216.99.106 (03/15 04:20)
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