※ 引述《nthomas.bbs@ptt.cc (中華隊..真的很棒)》之銘言：
> A person standing at the top of a hemispherical rock of radius
> R kicks a ball(initially at rest on the top of the rock)
> to give it horizontal velocity Vi
> a) What must be the mininum initial speed if the ball never to hit
> the rock after it is kicked?
> 水平會走的位移 x= Vi*t
> 距離地板的長度 y=R-1/2*g*t^2
> 由水平得知t=x/Vi
> 代入y y= R-1/2*g*(x/Vi)^2
這題有用到曲率的概念 (即 y 對 x 微分兩次), 以及對拋物線跟圓的了解.
你可以先試著利用能把函數變成座標圖的軟體,
看看不同初速下的拋物線與半圓的關係
例如: 拋物線為 y = 1 - 0.5 * a * x^2 , a 相當於不同的初速
半圓為 y = ( 1 - x^2 ) ^ 0.5
然後你會發現,
只要球有辦法平飛出去 (即在上例中 a < 1) , 就不會碰到下方的半圓.
也就是說, 只要一開始拋物線彎曲的程度比圓小就行了.
在數學上的說法便是: 球在剛被踢出時 (此時座標為 (0,R) ),
其拋物線曲率的絕對值, 小於半圓的曲率絕對值.
由你上面最後一個式子的 y 對 x 微分兩次,
可得拋物線曲率的絕對值恆為 g/(Vi^2) ,
而半圓在 (0,R) 這一點的曲率絕對值為 1/R
再由 g/(Vi^2) < 1/R , 可得 Vi > (gR)^0.5 即解答.
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▋ ﹀ ● ﹋ ﹋ ＊│＊│﹍﹍ 阿竹
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