Re: [問題] 與電磁有關的勞倫茲轉換

看板Physics作者idyllic (flatlander)時間17年前 (2007/06/13 22:58)推噓35(35推 0噓 125→)

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吵亂了物理版，也稍微幫網友提供一下意見 ※ 引述《Linderman (我要和女神開創美好未來꠩》之銘言： : ※ 引述《Xconqueror (小朱)》之銘言： : : 我們電磁老師教到Maxwell's equation的時候教了一些相對論... : : 我看了好久還是看不懂他的講義在寫什麼... : : 以下有幾個問題... : : 1. Contravariant four position : u 0 1 2 3 : : x : (x ,x ,x ,x ) : : Covariant four position : 0 1 2 3 : : x : (x ,-x ,-x ,-x ) : : u : : 上下行要一起看...他的上標不是次方(所以我不用^符號)，請問這兩個是什麼意思?? : : Contravariant跟Covariant是什麼意思?? 這些都是張量代數 (什麼是張量？恩，還沒被砍文的話，PTT 2059篇寫得不錯，建議你先從在座標轉換下分量的行為這個定義來理解他) 剛開始接觸最好的方法的確就是把他們當作一種可以把方程式寫得很對稱平衡所有腳標的符號定義 (強調一下，這些是Dirac說的，我程度很差) 但你還是一堆問號，對吧？時空體中的位置就位置怎麼還有分contravariant和covariant positions? 你應該知道在Lorentz transformation底下，有一個不變量 ds^2 = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 ---(1) (直角座標係) 離題一下，描述一個空間的幾何很重要的一個量叫「度規」你可以把他想作，當我們用某個座標來度量空間中很靠近兩點的距離度規可以反應座標如何來度量這相當靠近的兩點的長度例如在平直空間下的畢氏定理，還有在SR裡的(1)式 (SR裡空間還沒彎，但你已經看到他非歐式幾何了) 把(1)式裡每項d__d__的係數排成一個矩陣 (底線代表任意兩個座標) 就是你第二個問題中的 g_{\mu\nu} (一個矩陣兩隻腳，很合理吧) 實際上我可以把(1)式通乘 -1 然後定義新的不變量 ds'^2 = -ds^2 也就是說用 diag(-1,1,1,1) 這矩陣來表示度規跟用 (1,-1,-1,-1) 其實根本等價，所以這就是linderman先生提到的convention的問題 (你上面問題中所寫的的就是(1,-1,-1,-1)的convention) 事實上我們也可以定義兩個向量A^\mu, B^\nu的「內積」 g_{\mu\nu}A^\mu B^\nu --- (2) 他會是個座標變換下的不變量注意到一上一下的double indices都要sum起來 (愛老大發明了這求和公式聽說爽了很久) 你可以算一下(2)式中的 g_{\mu\nu}A^\mu，會發現他其實只是把空間部分變號了我們就把 g_{\mu\nu}A^\mu 定義作 A_\nu = (A^0,-A^1,-A^2,-A^3) 這樣一來寫內積是不是輕鬆簡便又美麗呢？懶惰又啥都不會的idyllic同學：A_\nu B^\nu = A^0B^0 - A^1B^1 - ... (對耶！這樣寫好方便喔！上下腳標的差別我看到了，但那為啥要叫那恐怖的名字呢？) 其實你會發現index寫在上面的「向量」在作標轉換底下的轉換規則跟basis一樣，而寫在下面的則跟basis相反，這就是co-跟contra-的由來有些數學的書好像很三八，會寫相反。但誰管他，他只是名字麻，而且數學人都很奇怪 XD (不要罵我，是Zee說的) 於是你可以看做 g_{\mu\nu} 好像富有把腳標拉下來的能力我們也可以定義 g_{\mu\nu} 的反矩陣 g^{\mu\nu} 他就有把腳標拉上的能力最後在稍微強調一下，張量是個generic objects，在座標轉換時你雖會看到他的不同樣子，但他本質上都是一樣的這就是為什麼我們要把物理定律寫成張量形式相對論中的座標對稱就是這麼一回事阿 principle of relativity 這是一些物理人喜歡這麼看張量的原因 : Contravariant跟Covariant在物理系先把他當成一個定義來操作,Arfken有寫一點, : 這個是張量跟群有關,張量再任何作座標都是一個不變量只要她滿足群的定義 : : 標上標下有什麼差別??? : 這個其實Griffiths有寫這方面的東西 : u : x 和x 內積就是一個Lorentz不變量,在任何作標下都成立 : u : : 2. u uv v : : x = g x 、 x =g x <==要三行一起看= ="...是上、下標 : : v u uv : : u、v有什麼差別??? : : 標上標下有什麼差別??? : 這個初學場論的人也會被搞的有點迷糊,其實這很簡單,因為時空是同一個維度 : 物理學家用這方法寫可以變的很漂亮,愛因斯坦當初就是被這對稱性和美妙所迷戀讚嘆 : 而且他發明一個簡單的寫法,如果重複指標用愛因斯坦summation所以v要從1加到4 : uv : g 把他看成上昇指標他作用再x 就可把指標提上去,同理,g 作用在x 可以把拉下來 : v uv v : 記住都是愛因斯坦summation : : 我快要被上下標跟u、v弄到瘋掉了...目前只知道有一撇(x')是另一個座標系= =a : : 我搞了快要一個禮拜了...救救我吧>"< : uv : g 是一個metric物理系翻成度規,數學系叫做測距,這個初學先不用在在意太多 : 在狹義相對論他是平坦時空,所以g就是最簡單的取法(+1,-1,-1,-1)或是(-1,1,1,1) : (廣義相對論他是彎曲時空就比較複雜一點) : 通常大部分場論取(+1,-1,-1,-1)相對論取(-1,1,1,1) : : 我們電磁課老師的網站： : : http://www.phys.cycu.edu.tw/~choucl/EM/ : : 這是我說的內容的那份講義，前兩三頁就是了: : : http://www.phys.cycu.edu.tw/~choucl/EM/PDF/MaxwellEqs.pdf : 你們老師做講義的真的很棒 : 嗯,最後一次發言 ------------------------------ 最後我想說的是，linderman同學這篇文章就很好阿其實我對你的人沒有敵意，也蠻佩服你肯為作學問犧牲一切只是稍稍不喜歡你在充分抬高純數和高能理論的同時常常不經意的貶低了其他「美妙」(我一定要強調美妙！！！)的東西 computing也多麼藝術阿！實驗也是個藝術品阿！文學也是啊我也承認弦當然是相當吸引人的，(再強調一次，我不懂，我程度挺差的XD) 但您是否有一種當別人稍微批評一下您最喜愛的東西時，就發火的性格呢？因為我很討厭那種拿自己領域來貶低別人領域的，尤其是文學前一陣子您貼的大師文章也不錯阿我要強調我沒有要拿學術圈和學歷來壓人我講學術圈的原因是，台灣圈子那麼小如果太容易和人吵架，你要怎麼和別人合作？剛是被你突然罵到有點生氣，不過後來就覺得很好笑最後我想說的是：物理人最強烈的特徵是幽默感與樂天(especially theorists) 還有，別再說我又罵你了，我是第一次跟你吵，強調一下 ------------------------------- 趁他們吵架趕快再來討論點東西其實電磁學蘊育著豐富的幾何結構你提到了電磁學，其實有一個蠻好玩的東西就是把電磁學越寫越短，或說Maxwell方程式越寫越短真的有點懶得打，直接把一個挺好玩的比較短的結果寫給你 dF = 0 d*F = J PS.你們老師會提這些真有心，我大學電磁老師真的是... 聽他上課不如到物理版看熱鬧 XD (以上是無心玩笑話，我是中立國我是中立國我是中立國) (數學家的玩笑話是Zee演講中提到的，寫出來只是覺得好玩) -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) ◆ From: 140.113.20.183 ※ 編輯: idyllic 來自: 140.113.20.183 (06/13 23:01)

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06/13 23:01,

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