Re: [題目] 有關電磁學中極化向量的題目
※ 引述《koos (家欣)》之銘言：
: [領域]電磁學 (題目相關領域)
: [來源]David K. Cheng 2ed. 第148頁 第23題 (課本習題、考古題、參考書...)
: [題目]Determine the electric field intensity at the center of
: a small spherical cavity cut out of a large block of dielectric
: in which a polarization P exists.
: [瓶頸] (寫寫自己的想法，方便大家為你解答)
: 看題目好像是在一個很大很大的介電質裡挖了一個球形的腔，
: 然後問中心的電場是多少。
: 我的想法是在球裡取高斯面，內部自由電荷為0
: 所以電位移D應為0。
: 又D=(ε0)E+P
: 得E=-P/(ε0)
: 請問這個想法錯在哪裡呢？
介電體離遠離空洞感覺不到洞的作用，所以電場是：
E0_r = (P/χ)cos(θ)
E0_θ = -(P/χ)sin(θ)
(假設P是z方向，以洞球心爲原點)
除了空心的邊緣以外其它地方電勢必須符合Laplace:
▽^2 φ = 0
因爲z鈾圓柱堆成，解是：
空心內(不取r的負次方，因爲r=0是正常點)
φ1= a1 r cos(θ) + ...
介電體內(r的正次方只取到一次方,因爲遠方電場爲常數)：
φ2= b0/r + (A r + b1/r^2) cos(θ) + ...
可以用E=-▽φ來算出各處的電場。
洞內：
Er = -a1 cos(θ) + ...
Eθ= a1 sin(θ) + ...
洞外：
Er = b0/r^2 - (A-2b1/r^3)cos(θ) + ...
Eθ=(b1/r^3+A)sin(θ) + ...
遠離空心(r->無限大)介電體裏面的電場符合上面的電場。
在r到無限大的極限，外圍電場只剩下有A的項，算得A值：
A = -E0 = -P/χ
然後在空心邊緣(r=r0), E_θ連續,ε0 E_r(空心內)= ε E_r（介電體)
結果是大部分的a_l 和 b_l都等于0，除了：
a1 = 3 E0ε/(2ε+ε0)
b1 = E0 r0^3(ε-ε0)/(2ε+ε0)
所以洞內部電場是常數，等于a1
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04/24 20:38, , 1F
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