Re: [問題] 積分
x^2+2x=(x+1)^2-1
令x+1=sec(u) x=sec(u)-1
dx=sec(u)tan(u)du
積分可寫成
∫sec(u)tan^2(u)du
利用分部積分(by parts)
∫x(u)dy(u) = x(u)y(u) -∫y(u)dx(u) （y和x必須是同一個變數u的函數）
這邊先將其中 sec(u)tan(u)du 寫成 dsec(u)
所以積分變成 ∫tan(u)dsec(u)
by parts
∫tan(u)dsec(u) = tan(u)sec(u) - ∫sec(u)dtan(u)
= tan(u)sec(u) - ∫sec^3(u)du
= tan(u)sec(u) - ∫sec(u)[tan^2(u)+1]du
= tan(u)sec(u) - ∫sec(u)tan^2(u)du - ∫sec(u)du
^^^^^^^^^^^^^^^^^
這邊可以發現中間這一項就是我們要求的，所以移項過去左邊，然後同除以二
所以
∫sec(u)tan^2(u)du = [ tan(u)sec(u) - ∫sec(u)du ]/2
所以
∫sec(u)tan^2(u)du = [ tan(u)sec(u) - ㏑|sec(u) + tan(u)| ]/2 + C
因為 d[ ㏑|sec(u) + tan(u)| ]/du = sec(u) 你可以驗證看看
所以將最後一個式子的sec(u)換成(x+1)，tan(u)換成√[ (x+1)^2-1 ]
就大功告成
這可能只是辦法之一，不過我目前還沒想出來有其他辦法
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