※ [本文轉錄自 ck47th314 看板]
作者: KevinLan (Posaunenblaeser) 看板: ck47th314
標題: Re: 公式解
時間: Thu Jan 6 03:35:02 2000
還是大略的解釋為什麼五次方程式沒有解好了
不然都已經寫了置換群的做法了
不再多寫一步有點划不來
(早知道會花那麼多時間就只寫古人的解法了...)
總之方程式的解有種共軛的概念
比如說在解實係數的二次方程式時
a+bi 跟 a-bi 兩組解共軛
或者 a+sqrt(2) 跟 a-sqrt(2) 對有理係數的方程式來說共軛
推廣來說就是在解 n 次方程式時
其解也可以有一種共軛的關係
就是可以有一個保持係數所在的代數結構的映射把這些根互換
(數學上的術語是 field automorphism)
像剛才推導三次或四次的方程式的公式解時
就是由最一般的情況假設解的係數是多項式變數 s1,s2,s3,...
其中 s1,s2,... 是解 t1,t2,... 的對稱式
這是必然的, 原本多項式的係數與根就有對稱式的關係
也就是這等於是最一般的條件
所以若是 t1,t2,... 可以表成 s1,s2,... 的根式
則一般的多項式自然就有根式解
(反之有根式解當然是表示 t1,t2,... 可以寫成 s1,s2,... 的根式
不管 s1,s2,... 是什麼)
這種情況下這些根的共軛關係就是利用 n 個元素的置換群
在三次或四次的時候
我們前面看到可以找到一系列的 subgroup :
1 < A3 < S3
1 < V < A4 < S4
使得相鄰的兩個子群之間有 normal subgroup 的關係
且其 quotient group 具有簡單的形式
這個簡單的形式所需要的是可交換的群
因為由開根號所作出來的解其置換群一定可以寫成一層一層的可交換群
而五次方程式的問題在於 S5 只有一個 normal subgroup A5
可是 A5 不但不可交換, 而且沒有任何 normal subgroup
(這個需要一點功夫證明)
所以沒辦法造出根式解...
呃...
解釋的不清不楚
好像還是跟沒寫一樣
大家隨便看看就是了...
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