[其他] 數理邏輯與集合論會比自然數更基礎嗎？

看板Math作者 (邁向學術之路)時間3月前 (2025/08/29 15:39), 編輯推噓4(4推 0噓 13→)
留言17則, 4人參與, 2月前最新討論串1/1
現代數學一般認為「數理邏輯」與「集合論」比「自然數」更基礎。這個觀點來自於，我 們可以使用一階邏輯語言，選取ZFC公理，建立皮亞諾公理體系的自然數集合模型。 不過定義及描述數理邏輯或集合論時，又必須先有自然數的概念才行。因為「有限」、「 可數」的概念基於自然數。例如「有限或可數」個變數或命題、「有限」的證明步驟、空 集合「唯一」性、「一階、二階、高階」邏輯等等。 有人會進一步說，這裡先有的是元語言中的自然數概念(似乎源自於抽象和數(動詞)數(名 詞))。這樣的話想知道，自然語言中的邏輯概念、集合概念和自然數概念，它們彼此之間 的關係呢？ 回歸原來問題，數理邏輯與集合論會比自然數更基礎嗎？或者說都是基礎，沒有誰比較基 礎？對這個問題你有什麼看法？ -- At the end, it never ends. -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 219.69.12.24 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1756453145.A.938.html
推
08/29 17:58, 3月前 , 1F
以Halmos 的Naive Set Theory 的脈絡來說，是先從
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08/29 17:59, 3月前 , 2F
ZFC中的幾個基本公設開始，去定義出自然數
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08/29 17:59, 3月前 , 3F
0=空集合，1={0}，2={0,1}，…，然後再後面一點的章
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節才講什麼是finite什麼是可數之類的
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所以本來就不是說集合論全部概念講完才講自然數
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08/29 18:01, 3月前 , 6F
這邊發展一點，然後那邊發展一點，那邊的概念再拿回
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08/29 18:01, 3月前 , 7F
來用，數學很多地方還是有這樣的現象吧
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08/29 18:08, 3月前 , 8F
至於基本的1,2概念在定義出來前可以繞過去，像空集
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08/29 18:09, 3月前 , 9F
合的唯一性可以說「如果A,B都是空集合，那A=B」
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08/29 18:10, 3月前 , 10F
像Axiom of pairs 也是說如果A,B是集合（不用特別說
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08/29 18:11, 3月前 , 11F
是「兩個」集合），那就會存在集合{A,B}
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推
08/29 18:20, 3月前 , 12F
對，我覺得基本上沒錯啦，還是本來就會數數，集合論
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08/29 18:21, 3月前 , 13F
公設不是在教我們怎麼數數，只是要建立一個嚴謹的邏
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08/29 18:21, 3月前 , 14F
輯體系而已
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08/29 19:37, 3月前 , 15F
+1。這種贊同方式蠻適合主題吧XD
08/29 19:37, 15F
推
08/31 18:55, 3月前 , 16F
我覺得都是基礎。
08/31 18:55, 16F
推
09/20 13:32, 2月前 , 17F
量子場論比較基礎，還是牛頓力學比較基礎
09/20 13:32, 17F
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