[代數] 一個國中代數的複數解可能性疑問

看板Math作者ozobrian (圍牆)時間1年前 (2024/01/01 08:32)推噓1(1推 0噓 8→)

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先說問題，以免我等下廢話打太多若a、b、c皆為正實數、d、e皆為實數且a>b、c<(a^2-b^2)^0.5 是否存在x=d+ei滿足 (a^2-x^2)^0.5+(b^2-x^2)^0.5=c 若存在，那解(d,e)是否存在通解? ---------------------以下問題來源(不是很重要) 這問題來源自近期無聊看到一個的問題的延伸一開始是 (16-x^2)^0.5+(9-x^2)^0.5=5 求解x 解法應該挺多的我自己第一時間想到的解法是畫兩個圓心在(0,0)，半徑分別是3、4的圓再加一條垂直線x=a切過兩圓交大圓於(a,?)、交小圓於(a,-??) 然後就會發現是個直角三角形 a則是會是該三角形的高，加正負號就是本題解後來則想了想，如果把16、9、5改成a^2、b^2、c 那這題是否有通解? 即(a^2-x^2)^0.5+(b^2-x^2)^0.5=c 若a、b、c皆為正實數，x是否存在通解? 由於上面的解法，不難推導出通解 x=[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]^0.5 / 2c 即三角形三邊長面積公式*2/底可是這算法是建立這個xy平面的圖畫得出來的情況也就是說，若x存在實數解才成立才對所以其實必須有c>=(a^2-b^2)^0.5 (假設a>=b) 因此用a=4、b=3、c=2代入通解後就會發現錯誤因此繼續思考那x是否可能為虛數解? 但這就超出本人數學能力所以才有了最上面的提問 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.194.169.50 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1704069171.A.D0C.html

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代入後題目變成 (a^2-x^2)^0.5+(b^2-x^2)^0.5=c >> (16-x^2)^0.5+(9-x^2)^0.5=2 通解變成 x=[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]^0.5 / 2c =(9*5*3*1)^0.5/4=根號(135)/4 反代回去題目變成 (16-135/16)^0.5+(9-135/16)^0.5=11/4+3/4=7/2=/=2 從我上面說的幾何方式作圖會發現作出一個三角形(兩個半徑+x=k的線) 且當k=b的時候(直線與小圓相切)時會是c的最小值若題目c小於(a^2-b^2)^0.5則畫不出該直線從代數角度來看，對於f(x)=(a^2-x^2)^0.5+(b^2-x^2)^0.5方程若a>=b的話 x=b的時候會有最小值此時f(x)=(a^2-b^2)^0.5 因此如果c小於(a^2-b^2)^0.5時，x不存在實數解 ※ 編輯: ozobrian (123.194.169.50 臺灣), 01/01/2024 19:40:31

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