[其他] 由a＊y=δ特解找a＊y=x特解問題
請教一個由delta函數的特解求得general函數特解的問題
我會先在【定義與前因】敘述定義、觀察與問題,
在由【實際例子】去觀察我遇到的現象
===================================================
【定義與前因】
令
a :Z→R為一數列, 滿足a_0=1
a_N!=0, N>=1
a_n=0, else n
x :Z→R為一數列
δ:Z→R為delta函數, δ_0=1, 其餘為0
* :乘法
＊:摺積
S_x := {y:Z→R│a＊y=x}, 為滿足a＊y=x的解y所形成的解空間
y_x := S_x中的一個元素, 只是符號讓我不用一直打"a＊y=x的特解"
(a＊y=x寫開就是y_n+a_1*y_(n-1)+...+a_N*y_(n-N)=x_n, N階非齊次線性遞迴方程)
P.S. 通篇若有收斂性討論只定義在逐點收斂, 不把l^p定義放進來比較乾淨
而且能適用的解空間最廣
接著很容易推導得: 若x有緊緻支撐, 則y€S_δ=> y＊x€S_x
也就是說, 你要解任何a＊y=x的特解, 其實你都只要知道a＊y=δ的特解即可
只要把y_δ去跟x做摺積就會是a＊y=x的特解
我的問題在於, 如果x沒有緊緻支撐, 那y_δ＊x很容易不收斂,
這樣y_δ還能幫助我們得到y_x嗎?
之前板友提到就像實變那樣把x乘上一個特徵函數χ_[-M,M]讓他具有緊緻支撐
然後再把M趨近於無窮大, 今天我用實際例子做一遍時發現有機會但是沒那麼穩定
即乘χ_[-M,M] or χ_[-2M,2M] or χ_[-2M-1,2M+1]甚至會有差別
所以才想問這問題有沒完整的答案, 還是x非緊緻就是會有各種事情發生
By the way, 易證得: 令x^M := x*χ_[A(M),B(M)], A(M)趨近於-∞, B(M)趨近於∞
若 y_δ＊x^M 逐點收斂, say Y
則 Y會是a＊y=x的特解
也就是說, 今天你取的特徵函數如果夠好, 讓他跟x相乘後再去跟y_δ做摺積是收斂的
那這個收斂後的數列就會是a＊y=x的特解
【實際例子】
令N=1, a_N=1
１為全部都是1的數列
則a＊y=x <=> y_n+y_(n-1) = x_n, 一個簡單的一階非齊次線性方程
當x=δ時, (y_δ)_n := 0 , n>=0 為a＊y=δ的特解
(-1)^(n+1), else
當x=１時, (y_１)_n := (1/2)*(1+(-1)^n) 為a＊y=１的特解
接著就能觀察到幾件事:(配合 https://www.desmos.com/calculator/ke87t1igh5
拉動M滑桿可以模擬M→∞)
(1) y_δ＊１不收斂: 因為y_δ＊１照定義寫出來會變成一堆+1與-1相加, 值跳來跳去
提醒一下, 如果今天x有緊緻支撐, 那y_δ＊x絕對沒問題, 而且
就會是a＊y=x的特解
(2) 對１乘χ_[-M,M]:
令１^M := １*χ_[-M,M] = χ_[-M,M]
則y_δ＊１^M就是a＊y=１^M的特解沒問題
然後把逐點(for each n)把M逼近到無窮大
我們得到 lim_{M→∞} (y_δ＊１^M)_n 一直震盪不收斂
參考連結中的y_M點列
(3) 對１乘χ_[-2M,2M]:
令１^2M := １*χ_[-2M,2M] = χ_[-2M,2M]
我們得到 lim_{M→∞} (y_δ＊１^2M)_n = (1/2)*(1-(-1)^n)
確實是a＊y=１的特解
(4) 對１乘χ_[-2M-1,2M+1]:
令１^2Mp1 := １*χ_[-2M-1,2M+1] = χ_[-2M-1,2M+1]
我們得到 lim_{M→∞} (y_δ＊１^2Mp1)_n = (1/2)*(1+(-1)^n)
確實是a＊y=１的特解
有了以上觀察, 對我來說(3)跟(4)雖然收斂到不同的特解, 但是只要是特解我就OK
而(2)就有點慘不收斂, 不過卻發現他的不收斂的震盪是在兩個特解中震盪...
感覺又沒那麼慘, 存在子列是特解的感覺
也就是因為這個例子, 讓我說取特徵函數χ_[?,?]這個方式不太穩定
取得好就是特解, 取不好就不收斂, 但是即便不收斂好像又能貢獻出些訊息
我猜測是因為這個例子比較簡單, 說不定有怎麼取特徵函數都不收斂的例子XD?
=================================================================
以上是我對這個問題的描述跟觀察
再請有涉獵的板友解惑一下, 感恩!
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.241.88.179 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1700156785.A.709.html
※ 編輯: znmkhxrw (123.241.88.179 臺灣), 11/17/2023 02:06:45
推
11/17 03:47,
5月前
, 1F
11/17 03:47, 1F
→
11/17 03:49,
5月前
, 2F
11/17 03:49, 2F
→
11/17 03:53,
5月前
, 3F
11/17 03:53, 3F
嗨V大, 這樣拆的話, 令x1=…000111…., x2=…111000…, 則y_delta跟x1摺積發散, 跟x2摺
積爲0耶@@?
※ 編輯: znmkhxrw (123.241.88.179 臺灣), 11/17/2023 05:09:33