[分析] 實函數傅立葉轉換的位移問題
想請問一個"頻率位移"的問題, 已轉換成下列數學式
=====================================================================
令x(t):R→R為一實函數
F{x}(f):=∫_{t€R} x(t)*exp(-2πi*f*t) dt 為x(t)的傅立葉轉換
d€R為一實數
想求實函數y(t):R→R
使得 |F{y}(f)| = |F{x}(f+d)| for all f€R
(傅立葉轉換的嚴謹性在這裡先忽略)
=====================================================================
以訊號處理的語言的話, 就是找到把x的頻率位移d的訊號y
最初這個問題是: 求函數y(t):R→C 使得F{y}(f) = F{x}(f+d) for all f€R
而根據傅立葉轉換與摺積的交互性質, 可以得到 y(t) = x(t)*exp(-2πi*d*t)
但是無奈這樣的y值會是複數域, 我不想要這件是發生
因此我才退而求其次, 不要求y的傅立葉轉換就剛好是x的傅立葉轉換的位移
只要求其絕對值相同就好, 因此才有最一開始的數學問題
如果有解的話再請板友解惑
如果無解的話也請提供一下證明的方向
謝謝幫忙~
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣)
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1669829335.A.F84.html
推
12/01 05:29,
1年前
, 1F
12/01 05:29, 1F
→
12/01 05:29,
1年前
, 2F
12/01 05:29, 2F
→
12/01 05:31,
1年前
, 3F
12/01 05:31, 3F
推
12/01 05:37,
1年前
, 4F
12/01 05:37, 4F
→
12/01 05:38,
1年前
, 5F
12/01 05:38, 5F
這樣聽起來是很特殊的x才有可能有這性質, 一般的無法
我再寫寫看具體條件好了, 謝謝w大回答~
Update：已證出如果存在滿足條件的實函數y, 則x是零函數
→
12/02 13:34,
1年前
, 6F
12/02 13:34, 6F
是用delta function造非零函數的例子嗎?
確實我上面update說存在這樣y則x是零函數 是基於x條件好到L^1
就能用Riemann-LebesgueLemma證出x是零函數
w大的意思是用distribution來看的話, 存在符合敘述的例子囉?
→
12/02 16:39,
1年前
, 7F
12/02 16:39, 7F
→
12/02 16:45,
1年前
, 8F
12/02 16:45, 8F
→
12/02 16:49,
1年前
, 9F
12/02 16:49, 9F
→
12/02 16:49,
1年前
, 10F
12/02 16:49, 10F
→
12/02 16:51,
1年前
, 11F
12/02 16:51, 11F
→
12/02 16:53,
1年前
, 12F
12/02 16:53, 12F
→
12/02 16:55,
1年前
, 13F
12/02 16:55, 13F
→
12/02 16:56,
1年前
, 14F
12/02 16:56, 14F
了解~確實非函數的函數才有機會
因為我證明的過程利用到(1) Riemann Lebesgue Lemma
以及(2) 有兩個不同對稱點的函數必為週期函數
而我對廣義函數跟分布理論沒有涉獵, 不過光是δ的(1)就不成立了
(或許廣義函數有其相應的R-L Lemma)
謝謝w大~
※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 12/02/2022 21:03:29