[分析] 複變中Pole的定義
想請問一下, 以前學複變時對Pole p的定義跟wiki一致,
都是函數在p的鄰域都要可微, 然後要滿足lim_{z→p} blabla
但是今天在Z轉換(等同Laurent series, 只差w=1/z)的敘述邏輯中很怪, 詳細如下:
令f(z) := z/(z-1), z!=1
u_n := 1, n>=0
0, n<0
g(z) := Σ_{n=-∞~∞} u_n*z^(-n), |z|>1
也就是說:
(1) g是u的Z轉換
(2) f(z) = g(z) for all |z|>1
(3) f(z)是g(z)的解析延拓
接著問題在於, 今天說z=1是f的Pole, 完全OK
但是在訊號處理的Transfer function中, 很常這樣說:
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令y_n := (u＊x)_n, 其中＊是摺積
考慮轉移函數 H(z) := Y(z)/X(z), Y跟X分別是y跟x的Z轉換
可以輕鬆得到H(z)就是u的Z轉換, 就是g(z)
之後化簡算一算後得到g(z) = 1/(1-1/z) , for all |z|>1
我們發現g在1有Pole
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但就是因為g不能在z=1討論Pole(不存在1外的可微鄰域)才讓我覺得很怪...
目前我處理方式是基於解析延拓的唯一性去推廣Pole的定義:
We say p is a pole of f
if (1) the domain of the analytic continuation of f, say F, covers U\{p},
where U is an open set containing p
(2) p is a pole of F in the traditional definition
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我想會有這差別是因為以前在學複變時, 起源都是某個可微的f
然後把f轉成Laurent series, 所以形容Pole的對象都是f
但是在訊號處理中常常起源是某個數列u, 之後做Z轉換得g後
可以把g化簡成某個更大定義域的可微函數f
猜測是因為不會混淆(嚴格來說是因為解析延拓唯一)而變成說g跟f根本沒差?
也就是說, 只要敘述上討論到z轉換g(z)的Pole p,
他的前提就自然假設了g的解析延拓包含p的鄰域嗎?
謝謝回答~
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