Re: [其他] 線性遞迴方程解的行為(Solved)

看板Math作者Vulpix (Sebastian)時間1年前 (2022/05/12 19:53)推噓2(2推 0噓 5→)

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雖然是已經結案的問題，不過也算有其他觀點可以提供吧。 ※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言： : 想請問下列遞迴方程式是否有解的分類與規律: : ------------------------------------------------------------- : 令 x_n為一實數列, n>=0 : y_(-1), y_(-2),..., y_(-N) 為N個初始值 : a_1, a_2,..., a_N 為N個實數, a_N != 0 : 定義遞迴關係式 y_n = (Σ_{k=1~N} a_k*y_(n-k) ) + x_n, n>=0 : 想請問有沒有關於怎樣的a_k與x_n的條件 : 會導致 y_n有怎樣的行為, 特別是n→∞時的行為 : 或是條件更強一點, 加入" x_n = 0 for n>=M, some M " : 會有更好的結果嗎? : (我是做實驗時發現n很大時感覺y_n會趨近週期函數, 不知道是特例還是怎樣) : ------------------------------------------------------------- : (A^t代表A的transpose, "*"只是乘法而已) : 令 Y_n:=[y_n, y_(n-1),..., y_(n-N+1)]^t : X_n:=[x_n, 0, ..., 0]^t : [a_1, a_2, ..., a_(N-1), a_N] : [ 1 , 0 , ..., 0 , 0 ] : A :=[ 0 , 1 , ..., 0 , 0 ] : [ ..........................] : [ 0 , 0 , ..., 1, , 0 ] : 則 Y_n = A*Y_(n-1) + X_n, n>=0 : 一直拆下去可以得到, Y_n = Σ_{k=0~n} A^(n-k)*X_k : 之後把A對角化(只要a_N != 0都可以對角化)得到 A = P*D*P^(-1), P可逆這個條件不對。 a_N != 0 只告訴你 A 可逆而已。可逆與 eigenvalue 有沒有重複是兩回事，而這種形狀的矩陣是只要 eigenvalue 有重複就一定不能對角化的。不過這也是小事，A 不可逆也好、不能對角化也罷，都不重要。反正我們想找的 D 是 Jordan form。你寫出的 A 其實就是你的線性系統的 companion matrix。當然這個問題就如同 LPH 大所述，只是一個標準的線性系統。如果我們定義 F(t) = f_0 + f_1*t + f_2*t^2 + ... 其中 (F,f) = (Y,y), (A,a), (X,x)，還有 a_0 = 0。那 Y(t) = I(t) + A(t)Y(t) + X(t) 其中 I(t) 是一個跟初始條件有關的 N-1 次多項式，長相是 I(t) = Σ_{n=0}^{N-1} t^n*Σ_{n+1}^{N} a_k*y_{n-k} 從方程式上可以看到初始條件 y_(-1) 等數可以用某種形式併入 x_n 來計算。解 Y(t) = (I+X)/(1-A)，最後這個分母 1-A(t) 就是關鍵了。接下來的步驟就跟積分這種函數的標準步驟一樣：部份分式。分解完後，除了一個多項式部份外，每一項都是 p/(λ-t)^n 這種形式。對於 n=1 的項來說，因為冪級數的係數會是 p*λ^(-k)，所以會貢獻出等比項。而等比項就是造成 y 很大或震盪的來源，如果λ很小則他的影響會越來越不重要。至於當 n>1 的時候，係數會出現 p*C(n+k-1,n)*λ^(-k) 這種形式，他們會壓過 λ^(-k) 而更明顯地表現出來，因為是 O((n/λ)^k)。最後這段處理就跟直接用線性系統解出來的結論是一樣的。如果 X(t) 不是多項式的話，(I+X)/(1-A) 的處理上好像會比較複雜一點點？反正就是要把圍繞在 t=λ 附近的發散項抓出來，在每個點都泰勒展開一下。例如 sin(t)/(1-t)^2 就要把 sin(1)/(1-t)^2 - cos(1)/(1-t) 抓出來扣掉。（詳細的狀況應該更複雜，因為 X(t) 可能無法在 λ 展開。）把所有發散項都扣掉之後，剩下的部份就是個冪級數了。所以如果 λ 都不在單位圓外的話，y_n 會呈現出以那個無窮數列為中心振盪的樣子。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 163.13.112.58 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1652356435.A.AF6.html ※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 05/12/2022 23:55:46

推

znmkhxrw

05/12 23:47, 1年前 , 1^F

05/12 23:47, 1^F

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znmkhxrw

05/12 23:48, 1年前 , 2^F

05/12 23:48, 2^F

Y(t) = y_0 + y_1*t + y_2*t^2 + ... A(t) = a_0 + a_1*t + a_2*t^2 + ... + a_N*t^N, a_0=0 X(t) = x_0 + x_1*t + x_2*t^2 + ... 我只是懶得這樣寫三行。

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znmkhxrw

05/12 23:48, 1年前 , 3^F