Re: 三次函數平移重合條件
※ 引述《rfvbgtsport (uygh)》之銘言：
: 二次函數，可以平移重合條件，看二次項係數，那三次函數，可以平移重合條件，看什麼
: ？請前輩們，指點一下，謝謝
3 2
考慮 y = f(x) = ax + bx + cx + d (其中a≠0)
3 b 2
= a(x + 3 ─ x ) + cx + d
3a
2 2 3
3 b 2 b 2 b 3 3ac-b 27a d - b
= a[x + 3 ─ x + 3 (─) x + (─) ] + ──── x + ─────
3a 3a 3a 3a 2
27a
2 2 3
b 3 3ac-b b 27a d + 2b - 9abc
= a(x + ─) + ─── (x + ─) + ─────────
3a 3a 3a 2
27a
3 2
由此可知 一般式三次函數 y = f(x) = ax + bx + cx + d 可以看為標準式
3 3 2 -b
ax + px 或 ax 的平移 (決定於b -3ac是否為零, 水平平移─, 垂直平移用綜合除法算)
3a
討論:
(1)
2
若 標準式 a,p 同號, 當y = 0 = x(ax + p), x有一實數解0, 圖形交x軸原點亦為對稱點
2 3
或 一般式 b -3ac < 0 => 圖形與對稱點平移, 與標準式y= ax + px 雷同
如 https://www.desmos.com/calculator/rbphbnlq7t (1) 紅線
(2)
2
若 標準式 a,p 異號, 當y = 0 = x(ax + p), x有三實數解, 圖形交x軸3點(包含原點)
原點亦為對稱點
2 3
或 一般式 b -3ac > 0 => 圖形與對稱點平移, 與標準式y = ax + px 雷同
如 https://www.desmos.com/calculator/rbphbnlq7t (2) 橘線
(3)
3
若 標準式 p = 0, 當y = 0 = ax , x有三實數解(重根0), 圖形同(1)交x軸原點,
但不同的是在原點前後的圖形會由曲線緩緩接近水平的現象;
而(1)(2)則是在原點前後的圖形都是曲線, 沒有水平的現象,
2 3
或 一般式 b -3ac = 0 => 圖形與對稱點平移, 與標準式y = ax 雷同
如 https://www.desmos.com/calculator/rbphbnlq7t (3) 綠線
2 2
(可比較二次函數b -4ac正負與x軸交點關係 跟 三次函數b -3ac正負的幾何意義)
(4)
由(1)(2)(3)得知三次函數為點對稱圖形,
-b
標準式對稱點為原點(0,0), 一般式對稱點之x座標為─
3a
-b
(比較二次函數為線對稱圖型, 標準式對稱軸為y軸, 一般式對稱軸為x = ─)
2a
(5)
a正負號決定圖形右邊走向: a>0是一直往上; a<0是一直往下 (可比較二次函數a的正負號)
如 https://www.desmos.com/calculator/rbphbnlq7t (4) 藍線
(6)
|a|的大小決定圖形的寬窄: |a|越小, 圖形越寬; |a|越大, 圖形越窄
如 https://www.desmos.com/calculator/rbphbnlq7t (4) 藍線 (5) 紫線 (6) 黑線
(7)
這些已經是現行課綱高一數學會教的東西了...
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★ 聽說今天的星星很漂亮…可惜我看不到…
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推
02/10 15:11,
2年前
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02/12 09:31,
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