[分析] 實數的選擇公設與良序原則矛盾?

看板Math作者znmkhxrw (QQ)時間2年前 (2022/01/21 00:54)推噓4(4推 0噓 21→)

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今天又再看一些公設的陳述發現一個怪怪的矛盾... 1. 採用ZF公設1~8定義出正整數N→整數Z→有理數Q→實數R 2. wiki說在採用ZF公設1~8的情形下, 選擇公設等價於良序原則--(●) 以上兩者皆成立的話, 就有個奇怪的推論: -------------------------------------------------------------- 假設R中有選擇公設, 那R就有良序原則但是R沒有良序原則(例如開區間沒有最小元素), 所以R中沒有選擇公設 -------------------------------------------------------------- 這也太奇怪了吧...因為在造R中非可測集合時確實用到了選擇公設目前猜測其實沒有矛盾, 原因在於(●)的"序"並非是R中定義的序也就是說, 假設R中有選擇公設的情況下, 會存在某個序讓R滿足良序原則但是今天我們R中常用的那個序, 並沒有滿足良序原則, 自然不能推得選擇公設但是以上兩點沒有矛盾是我誤會了什麼還是我已經回答自己的問題了@@? 謝謝解惑! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1642697673.A.2FC.html

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我剛剛閱讀等價的證明過程後, 有件事我好像誤會大了... 即便我們證明存在一個relation讓R是well-ordered, 也不能夠推得R有選擇函數因為其等價性是基於下面陳述: 1.所有集合都well-ordered 2.所有集合都有選擇函數則1.2.等價並非是下面兩個等價: 3. X是一個well-ordered的集合 4. X是一個有選擇函數的集合順帶一提的是, 3.雖然不能推得4., 但是卻可以推得: 5. X的任意非空子集所形成的集合F都具有選擇函數(選擇公設成立) 也就是說, 在上面alan大問的是否存在X的子集X'使得裡面的等價類都是互斥的, 即X'的存在性, 是可以由X的well-ordered推出的, 但是X本身不一定具有選擇函數再請r大解惑了謝謝!

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我自己去跑3.跟4., 兩邊的方向都無法推得耶舉例當3.成立時, 你要用3.的性質時就變成要討論P(X)才用的到就像你說是我5.的意思而這也是為什麼1.<=>2.其實是要"所有集合"才會等價 WIKI是證明: (1) 任何集合都well-ordering => 任何集合都有選擇函數 (2) 任何集合都有Zorn's lemma => 任何集合都well-ordering (默認Zorn's lemma等價於選擇公設) ------------------------------------------------------------- 只是我說"我誤會大了"以及想釐清的事情是: 令X為一個集合, [‧]為在X上的一個等價類則有 X = ∪_{x€X} [x] 再來就是alan大之前問的"是否存在X的子集X'"使得: (a) X = ∪_{x€X'} [x] (b) for any x!=y€X', [x]∩[y] = φ 一直以來我都是口說一句"因為選擇公設，所以成立" 但是昨天去仔細研究發現"到底是針對誰假設有選擇函數", 突然覺得不妙XD 是X還是F:={[x]€P(X)│x€X} 加上後來又問了這篇問題, 又發現好像誤用了"3.等價於4."(根本不成立) 總歸起來, 我想確定下面陳述以及關係圖是正確的: (A) 若X是well-ordering也不能推得X有選擇函數(即3.不能推4.) (B) 若X有選擇公設也不能推得存在那樣的子集X' (C) 若X是well-ordering則能推得存在那樣的子集X' 畫成關係圖就是: 所有集合都well-ordering <=> 所有集合都有選擇函數 ∥ ∥ ＶＶ X是well-ordering <===錯===> X有選擇函數 ∥ ∥ Ｖ ∥ 存在那樣的X' <======錯=========, (這個錯算是我長久以來的誤會吧XD)

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