[分析]Riemann-Stieltjes積分如果α=0則f可無界?

看板Math作者 (God of Computer Science)時間4年前 (2021/12/21 14:38), 編輯推噓8(8推 0噓 38→)
留言46則, 4人參與, 最新討論串1/1
如題﹐小弟我最近又有一個疑問了，Rudin 在定義 Riemann-Stieltjes 積分的時候， 只規定 (積分因子?) α 不遞減而已，不一定要嚴格遞增，可是又說 f 要 bounded， 雖然這樣是可以保證可積沒錯，可是我又在想，如果 α(x) = 0 for all x 的話， 那 f 無論是多少，每個 partition 的上和 & 下和都會是 0 (provided inf * 0 = 0) 這樣不是就滿足積分收斂的定義了嗎？所以我想問，f 如果 unbounded 但是上下和明顯 收斂的話，算是有沒有定義 Riemann-Stieltjes 積分了呢？先謝謝諸位了！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.109.20.138 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1640068721.A.ACA.html
推
12/21 18:33, 4年前 , 1F
f bounded 並無法保證可積,而 f unbounded的話
12/21 18:33, 1F
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12/21 18:34, 4年前 , 2F
M_i或m_i連定義都無法定義,即使你讓α為常數函數也
12/21 18:34, 2F
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12/21 18:36, 4年前 , 3F
一樣 所以一開始的條件就說 f 要bounded
12/21 18:36, 3F
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12/21 19:23, 4年前 , 4F
所以在 extended real number system 底下無限大只
12/21 19:23, 4F
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12/21 19:24, 4年前 , 5F
能用來比大小，不能乘以 0 = 0 囉？
12/21 19:24, 5F
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12/21 19:26, 4年前 , 6F
衝著大大二樓所說的 "無法定義"，在 extended 系統
12/21 19:26, 6F
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12/21 19:27, 4年前 , 7F
下其實是可以的，所以問題應該是 reduce 到說 exten
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12/21 19:27, 4年前 , 8F
系統下有沒有定義 inf * 0 = 0 這句話
12/21 19:27, 8F
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12/21 20:24, 4年前 , 9F
真正問題其實是從 https://imgur.com/7O2FDQp
衍伸
12/21 20:24, 9F
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12/21 20:25, 4年前 , 10F
而來，我個人認為這裡的 f 既不需要 bounded 也不需
12/21 20:25, 10F
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12/21 20:26, 4年前 , 11F
要 continuous，然後說積分結果會是 f(s+) 就好？
12/21 20:26, 11F
推
12/21 21:01, 4年前 , 12F
f若在s不連續 M2跟m2可能不會收斂到同一個值
12/21 21:01, 12F
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12/21 21:02, 4年前 , 13F
那是因為他最後結論是 f(s)，但如果只要 f(s+) 的話
12/21 21:02, 13F
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12/21 21:02, 4年前 , 14F
其實 f 根本什麼假設都不用有，連 bounded 都不用？
12/21 21:02, 14F
推
12/21 21:04, 4年前 , 15F
不收斂到同個值就不可積了呀
12/21 21:04, 15F
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12/21 21:37, 4年前 , 16F
f(s+) 也是一個值阿～～ 不用在 f(s) 有定義
12/21 21:37, 16F
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12/21 21:41, 4年前 , 17F
喔喔喔 我好像想錯了 f(s+) 其實也是由 "許多" 函數
12/21 21:41, 17F
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12/21 21:42, 4年前 , 18F
值所組成起來的
12/21 21:42, 18F
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12/21 22:09, 4年前 , 19F
所以 extended 系統有沒有定義 inf * 0 = 0 我還是
12/21 22:09, 19F
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12/21 22:09, 4年前 , 20F
不知道
12/21 22:09, 20F
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12/21 22:10, 4年前 , 21F
剛查了一下 Rudin 確實好像沒有看到這個規則
12/21 22:10, 21F
推
12/21 22:19, 4年前 , 22F
extended real 沒有硬性規定 inf*0=0 (要到測度論)
12/21 22:19, 22F
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12/21 22:20, 4年前 , 23F
這裡還不需要特別定義 extended real
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12/21 22:35, 4年前 , 24F
懂了！看來是因為這裡沒有出現 extended real的緣故
12/21 22:35, 24F
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12/21 22:35, 4年前 , 25F
非常感謝 ERT312 大
12/21 22:35, 25F
推
12/22 01:05, 4年前 , 26F
f有界的時候可以有諸多RS可積的等價定義
12/22 01:05, 26F
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12/22 01:05, 4年前 , 27F
但是今天如果你自行定義RS可積為"不需要f有界"
12/22 01:05, 27F
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12/22 01:06, 4年前 , 28F
那其實你可以從"f(t_i)α(x_i)-α(x_i-1) 這個定義"
12/22 01:06, 28F
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12/22 01:07, 4年前 , 29F
去推出f是有界的, 前提是α絕對遞增
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12/22 01:07, 4年前 , 30F
可以參考#1GzOHyV2這個證明
12/22 01:07, 30F
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12/22 01:08, 4年前 , 31F
總之, (1) 採用"f(t_i)α(x_i)-α(x_i-1)"這定義的
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12/22 01:08, 4年前 , 32F
的話, 當你α絕對遞增時, 若可積則可"推導"出f有界
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12/22 01:08, 4年前 , 33F
(2) 承(1), 你的例子α不是嚴格遞增, 所以雖然符合
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12/22 01:09, 4年前 , 34F
上述的可積定義, 也導不出f有界
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12/22 01:09, 4年前 , 35F
(3) 普遍大家會用f有界當前提, 這樣α不用嚴格遞增
12/22 01:09, 35F
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12/22 01:10, 4年前 , 36F
而且也有一堆等價定義(因為M_i,m_i這個在f無界是廣
12/22 01:10, 36F
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12/22 01:10, 4年前 , 37F
義實數的範疇, 因不同領域的方便性而有不同定義)
12/22 01:10, 37F
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12/22 09:54, 4年前 , 38F
太詳細了！再次謝謝 z 大～
12/22 09:54, 38F
推
12/22 12:35, 4年前 , 39F
不客氣~
12/22 12:35, 39F
推
12/27 03:08, , 40F
先考慮有界, unbounded 用瑕積分的方式去定義
12/27 03:08, 40F
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12/27 20:27, , 41F
樓上是熟悉的 id 呢，不過這個回答我喜歡，衝著這句
12/27 20:27, 41F
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12/27 20:28, , 42F
話我又上網複習了一下什麼是瑕積分，Rudin 只在第六
12/27 20:28, 42F
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12/27 20:29, , 43F
章的習題 7,8 定義它們而已，而且還是單邊的，果然
12/27 20:29, 43F
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12/27 20:29, , 44F
是古書。* 更正：熟悉的 id --> 令人懷念的 id
12/27 20:29, 44F
推
12/27 21:19, , 45F
很多書的脈絡大多類似, Lebesgue 積分也是 simple
12/27 21:19, 45F
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12/27 21:19, , 46F
function 取極限, 道理很像.
12/27 21:19, 46F
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