[線代] 線代通解問題

看板Math作者 (哈利~~)時間2年前 (2021/11/07 21:14), 2年前編輯推噓4(4推 0噓 5→)
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四元一次方程式 ax+by+cz+du=0 若已知相異三個解為 (x1,y1,z1,u1) (x2,y2,z2,u2) (x3,y3,z3,u3) 則此ax+by+cz+du=0 的通解為 X= x1*P+x2*Q+x3*R Y= y1*P+y2*Q+y3*R Z= z1*P+z2*Q+z3*R U= u1*P+u2*Q+u3*R 其中P,Q,R為實數 這要怎麼證明此參數式所有解呢? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 122.118.117.169 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1636290875.A.816.html ※ 編輯: harry921129 (122.118.117.169 臺灣), 11/07/2021 21:15:12
推
11/08 00:45, 2年前 , 1F
通解會在這三個點構成的二維平面上
11/08 00:45, 1F
推
11/08 01:36, 2年前 , 2F
相異不夠充分啊。
11/08 01:36, 2F
推
11/08 17:12, 2年前 , 3F
你要得到那結論，那三個解要 linearly-independent
11/08 17:12, 3F
推
11/08 17:15, 2年前 , 4F
而如果這三個解 Linearly- independent，定義線性
11/08 17:15, 4F
→
11/08 17:16, 2年前 , 5F
變換 f((x,y,z,u)) = ax+by+cz+du
11/08 17:16, 5F
→
11/08 17:17, 2年前 , 6F
這個線性變換的定義域 dim =4 ，值域 dim = 1，所以
11/08 17:17, 6F
→
11/08 17:17, 2年前 , 7F
nullity = 3。而你那三個解是三個在Null Space裡面
11/08 17:17, 7F
→
11/08 17:18, 2年前 , 8F
linearly-independent的向量，故可以形成Null Space
11/08 17:18, 8F
→
11/08 17:18, 2年前 , 9F
的一個basis。這樣就可以達到你要的證明了
11/08 17:18, 9F
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