[分析] 無限型∫f(x)dx寫成無窮級數和之極限

看板Math作者 (QQ)時間4年前 (2021/10/12 00:29), 4年前編輯推噓5(5推 0噓 70→)
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想請教一下在Lebesgue積分: ∞ ∞ ∫ f(x)dx = lim (1/p)*Σ f(n/p) --(*) -∞ p→∞ n=-∞ 這個式子要成立的話有什麼已知的充分條件呢? 我自己是有證明一個版本: ----------------------------------------------------------------- <Theorem> Let f€L^1(R) and |f|<=M on R ---(C1) and f monotonic on [A,∞) and (-∞, -A] for some A>0 ---(C2) and f is continuous a.e. on R ---(C3) Then (1) Σ_{n=-∞~∞} f(n/p) exists and finte for all p > 0 (2) (*) holds ----------------------------------------------------------------- 證明的idea是: (a) 造出階梯函數f_p(x) := Σ_{n=-∞~∞} f(n/p)*χ_[n/p, (n+1)/p) 造出控制函數g(x) := M , x€[-A,A] |f(x)| , else 然後就有 |f_p(x)| <= g(x) for all p P.S. 以上造法僅限於 f在[A,∞)向右遞增 & f在(-∞, -A]向左遞減 但是根據四種不同的單調排列組合都可以製造出相應的f_p (b) 因為f在R上a.e.連續, 所以我們有f_p(x)趨近於f(x) a.e. x€R 因為f€L^1(R)所以g€L^1(R) 根據以上兩個, LDCT告訴我們下面第一個等號, 第二個等號則by trivial check ∞ ∞ ∞ ∫ f(x)dx = lim ∫ f_p(x)dx = lim (1/p)*Σ f(n/p) -∞ p→∞ -∞ p→∞ n=-∞ ============================================================== 總之, (C1)跟(C3)我覺得還OK, 問題就在於(C2)太嚴苛了 可是沒有單調性我又造不出控制函數QQ 由於我是在推導傅立葉轉換與離散時間傅立葉轉換的關係時需要(*)式 訊號通常不會有單調性 因此才想問說有沒有什麼其他寬鬆的條件 謝謝!! (10/13更新) 找到一個符合L^1&(C1)&(C3)的反例: f(x) = 1 ,for x€Q 0 ,else 則p只要是正整數的話, f(n/p)都是1, 所以級數發散for all p€N 所以(C3)要加強至" 不連續點的數量有限 "才有機會... (10/13更新2) 全連續, 甚至均勻連續都也有反例, 看來要控制震盪度 (10/14更新) w大的locally BV也不能...把等腰三角形修改成C^1的話就locally BV了 https://www.desmos.com/calculator/jxkztslgm2 這裡我是用sine接起來的, 面積跟等腰三角形一樣 所以目前的超強反例是: f€L^1, C^1, 非負, 趨近於0, 均勻連續, locally BV 而要C^∞我猜也可以, 用test function來接應該就好, 只是面積要再check一下 (10/15) 條件可放寬至以下 <Theorem> (原本) Let f€L^1(R) and |f|<=M on R ---(C1) and f monotonic on [A,∞) and (-∞, -A] for some A>0 ---(C2) and f is continuous a.e. on R ---(C3) Then (*)成立 <Theorem> (現在) Let f€L^1(R) and f€BV(R) and f is continuous everywhere and Σ_{n=-∞~∞}f(n/p) converges Then (*)成立 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 59.102.225.191 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1633969796.A.158.html
推
10/12 22:21, 4年前 , 1F
把(C2)換成non-negative 我猜可能有希望
10/12 22:21, 1F
謝謝幫想, 不過剛剛寫了一下發現(C2)換成non-negative(稱作C2')是一樣的耶 也就是說如果(C2)換成(C2')則定理成立, 則把(C2)拿掉也會定理成立 證明如下: 若任何L^1函數滿足(C1), (C2'), (C3)則(*)成立 則對於任何f€L^1且滿足(C1),(C3), f就能拆成f^+跟f^-且都是L^1且都滿足(C2') 如此一來藉由假設能得知f^+跟f^-都滿足(*) 接著透過減法就能知道證出f滿足(*) 得證
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10/13 03:08, 4年前 , 2F
我猜L^1 + locally BV可以
10/13 03:08, 2F
確實是震盪的問題, L^1不能控制離散取樣的震盪性QQ
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10/13 10:05, 4年前 , 3F
我覺得(*)等號右邊可能要搞定黎曼積分,然後還要解決
10/13 10:05, 3F
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10/13 10:06, 4年前 , 4F
從有限區間擴展到實數可能會有的問題
10/13 10:06, 4F
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10/13 10:07, 4年前 , 5F
(C3)我們要的應該是不連續點的集合0測度,這樣反例應
10/13 10:07, 5F
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10/13 10:08, 4年前 , 6F
該可以避開
10/13 10:08, 6F
應該要均勻連續或是有界變量來控制震盪, 全連續也有反例, 剛剛想到一個: 令f在整數點取值為1, 在每個n都造一個底為1/n^2的等腰三角形, 其餘都是0, 則f是L^1 但是所有正整數p都會讓級數發散QQ
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10/13 18:30, 4年前 , 7F
不太懂你造的全連續反例,n是什麼?跟(*)裡的n有關嗎?
10/13 18:30, 7F
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10/13 18:32, 4年前 , 8F
等腰三角形的高是?
10/13 18:32, 8F
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10/13 18:36, 4年前 , 9F
如果你是說整數點都是等腰三角形的頂點,n是指整數點
10/13 18:36, 9F
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10/13 18:39, 4年前 , 10F
(*)等號右邊改成黎曼積分的瑕積分會不會就沒問題了?
10/13 18:39, 10F
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10/13 19:54, 4年前 , 11F
了解.級數不能爆掉的話f要限制,兩邊沒有趨近於0的應
10/13 19:54, 11F
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10/13 19:54, 4年前 , 12F
該是不行
10/13 19:54, 12F
趨近於0也是有反例, 只要把三角形的高變成1/n, 底變成1/n, 這樣f還是L^1 而級數和會是Σ1/n, 發散, 所以還是震盪問題@@ https://www.desmos.com/calculator/3c5gjvfcjj
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10/13 20:03, 4年前 , 13F
看到z大提到震盪,我想z大應該知道第一個反例,也就是
10/13 20:03, 13F
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10/13 20:05, 4年前 , 14F
有理數1,其他0的函數,是處處不連續,不符合(C3)
10/13 20:05, 14F
欸對 我在幹嘛XDDD 不過現在有處處連續的反例 只能朝震盪發展了QQ
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10/13 20:38, 4年前 , 15F
f兩邊趨近於0大概是必要條件,直接要求級數收斂會不
10/13 20:38, 15F
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10/13 20:38, 4年前 , 16F
會比較快?
10/13 20:38, 16F
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10/13 20:42, 4年前 , 17F
^f要滿足
10/13 20:42, 17F
當初有這樣想, 但是這條件很難檢查(太刻意&太強了), 所以還沒往這方向 而且即便收斂, 要說(*)左右相等我也沒其他想法 因為最初就是靠控制函數的讓 (1) 級數收斂 (2) (*)左右相等 今天如果假設(1)是對的, 還是沒其他idea說明(2) 總之我現在是往 "控制震盪後就存在L^1的控制函數"下手
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10/14 10:37, 4年前 , 18F
目前的想法是考慮f非負,(*)左式用MCT變成有限區間例
10/14 10:37, 18F
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10/14 10:37, 4年前 , 19F
如[-k,k]的積分然後對k取極限,接著再把積分變成黎曼
10/14 10:37, 19F
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10/14 10:38, 4年前 , 20F
積分,再來想把黎曼積分寫成黎曼和的極限,這時會碰到
10/14 10:38, 20F
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10/14 10:38, 4年前 , 21F
兩個極限是否能交換,如果可以,大概就變成(*)右式
10/14 10:38, 21F
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10/14 10:40, 4年前 , 22F
另外還要處理細部例如黎曼和怎麼取以及邊邊的部分
10/14 10:40, 22F
L積分比R積分的好處是容易處理極限交換的問題, 因為R積分極限交換要要求x變數對y變 數是均勻收斂, y變數對x變數逐點收斂, 這更難check... 不過既然locally BV都控制不了震盪性的話, 目前看起來只有單調而已了, 或是你說的直 接讓級數收斂當條件看有沒有辦法逼近積分了
推
10/14 16:08, 4年前 , 23F
直接BV呢？不要局部看。
10/14 16:08, 23F
∞ V大根據你這個idea並且加入f€C^1, 接著利用 Var[a,+∞] = ∫ |f'| dx < ∞ a 目前沒什麼進展QQ 就是找不到idea去控制step function的每段的面積... (10/15 更新) V大你這個條件OK耶!! 只是要加入P大的條件"級數收斂", 整體敘述我放在文末
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10/14 20:49, 4年前 , 24F
我想到一個應該是非BV,但級數應該是收斂的例子
10/14 20:49, 24F
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10/14 20:49, 4年前 , 25F
當然這不影響BV很可能有希望
10/14 20:49, 25F
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10/14 20:49, 4年前 , 26F
用1/n^2的整數點,整數點之間造n個震盪
10/14 20:49, 26F
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10/14 20:49, 4年前 , 27F
這樣variation應該會像1/n那樣跑到無限大
10/14 20:49, 27F
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10/14 20:50, 4年前 , 28F
級數收斂用1/x^2或者p^2/x^2壓住(comparison test)
10/14 20:50, 28F
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10/14 20:50, 4年前 , 29F
10/14 20:50, 29F
P大你這個是(1) f€L^1 & 級數收斂for all p (2) (*)相等 (3) 非BV (4) f連續且f趨近於0 嗎? (10/15更新) 嗨P大, 級數收斂&V大的全域BV確實就得證了 接著就差好的條件去讓級數收斂了
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10/15 14:12, 4年前 , 30F
之前我想證 若我們有一個跟f有關的級數收斂,則有均
10/15 14:12, 30F
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10/15 14:13, 4年前 , 31F
匀收斂,兩個極限可以交換(先考慮f非負).初步想想感
10/15 14:13, 31F
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10/15 14:15, 4年前 , 32F
覺有希望.後來想說改寫成積分形式的,發現基本上就是
10/15 14:15, 32F
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10/15 14:17, 4年前 , 33F
在做控制函數,假設是L^1(R),直接用你的證法就解決了
10/15 14:17, 33F
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10/15 14:19, 4年前 , 34F
我考慮的級數換成函數是長這樣：
10/15 14:19, 34F
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10/15 14:20, 4年前 , 35F
Σ_{n=-∞~∞}sup_{[n,n+1]}|f(x)|*χ_[n,n+1)
10/15 14:20, 35F
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10/15 14:20, 4年前 , 36F
如果f不是非負的話,可能要檢查一下
10/15 14:20, 36F
推
10/15 14:38, 4年前 , 37F
關於我提的例子,如果我沒想錯的話,(1)是對的
10/15 14:38, 37F
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10/15 14:39, 4年前 , 38F
(2)是對的,因為可以找到L^1(R)的控制函數
10/15 14:39, 38F
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10/15 14:41, 4年前 , 39F
(3)應該對,雖然以前BV好像都是用在有限區間的函數
10/15 14:41, 39F
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10/15 14:42, 4年前 , 40F
(4)是的.0那邊用直線連起來,往無限大的部分像1/x^2
10/15 14:42, 40F
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10/15 15:12, 4年前 , 41F
(2)我好像講錯,控制函數要和p無關,暫不確定
10/15 15:12, 41F
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10/15 15:15, 4年前 , 42F
(好多東東差點搞混) ↑我是指用p^2/x^2壓住
10/15 15:15, 42F
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10/15 15:21, 4年前 , 43F
(2)藉由1/x^2平移證明那個控制函數是L^1,所以是對的
10/15 15:21, 43F
推
10/15 15:28, 4年前 , 44F
直觀上我以為加上BV就能解決,畢竟反例應該都掛了
10/15 15:28, 44F
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10/15 15:30, 4年前 , 45F
f是L^1(R),BV,若f能寫成兩遞增函數相減,那兩個遞增
10/15 15:30, 45F
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10/15 15:31, 4年前 , 46F
函數會L^1(R)嗎？
10/15 15:31, 46F
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10/15 15:38, 4年前 , 47F
啊,不要理我,應該不行,通常都會爆掉或出問題
10/15 15:38, 47F
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10/15 15:47, 4年前 , 48F
直觀上覺得有BV的話,就不會有無限多的x讓f(x)的值跑
10/15 15:47, 48F
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10/15 15:47, 4年前 , 49F
到會讓級數發散的地方
10/15 15:47, 49F
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10/15 17:55, 4年前 , 50F
我剛想到一個證明,要證若f是L^1(R),BV,連續,則那個
10/15 17:55, 50F
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10/15 17:56, 4年前 , 51F
控制函數也會是L^1(R)
10/15 17:56, 51F
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10/15 17:56, 4年前 , 52F
先加個f非負好了
10/15 17:56, 52F
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10/15 17:57, 4年前 , 53F
假設要證明的東西是錯的,那個函數的L積分是∞
10/15 17:57, 53F
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10/15 17:58, 4年前 , 54F
目標是要得到variation也會是∞
10/15 17:58, 54F
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10/15 17:59, 4年前 , 55F
考慮另一個階梯函數,也就是把那個控制函數的sup改成
10/15 17:59, 55F
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10/15 18:02, 4年前 , 56F
inf,這樣子這個函數會是L^1(R)
10/15 18:02, 56F
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10/15 18:07, 4年前 , 57F
直觀上每個區間sup和inf的差累積起來應該就要爆掉
10/15 18:07, 57F
→
10/15 18:09, 4年前 , 58F
細節不確定sup和inf是兩端點都有取,會不會造成問題
10/15 18:09, 58F
============================================================ 幫PPguest貼文把原本的長推文換成寫得比較完整一點的文字 1.想到一個證明 本來想證在f€L^1(R),(C1)(C3),非負的條件下，若我們有一個跟f有關的級數收斂， [kp] 則當k→∞時，(1/p) * Σ f(n/p) 對p均匀收斂。 n=-[kp] 其中k的來源是把整個R上的積分變成[-k,k]區間的積分再取極限， ∞ MCT k ∫ f(x)dx = lim ∫ f(x)dx -∞ k→∞ -k p則是來自於把黎曼積分換成黎曼和的極限。 目標是p和k的極限可以交換。 初步想覺得有希望，後來不小心想說把新增的條件改寫積分的型式， 結果發現本質上似乎就是做出LDCT的控制函數。 （本來做的控制函數後來發現無法大於等於|f_p(x)|） ----------------------------------------------------------------- <Theorem> Let f€L^1(R) and |f|<=M on R ---(C1) and f is continuous a.e. on R ---(C3) and Σ_{n=-∞~∞}sup{|f(x)|, x€[n,n+1)} converges ---(C4) Then (*)成立 ----------------------------------------------------------------- 證明的想法： 大方向和原po最初的證明一樣要用LDCT，這裡只講控制函數的部分。 (ⅰ)令 u(x) = Σ_{n=-∞~∞} u_n *χ_[n,n+1), u_n = sup{|f(x)|, x€[n,n+1)} 由(C4)知 u(x)€L^1(R)。 (ⅱ)（造控制函數） 令 g(x) = Σ_{n=-∞~∞} g_n *χ_[n,n+1), g_n = ︴u_n, if u_(n-1) <= u_n ︴u_(n-1), if u_(n-1) > u_n (ⅲ)（g(x)€L^1(R)） g(x) = u(x) + Σ_{n=-∞~∞} (g_n-u_n) *χ_[n,n+1) <= u(x) + Σ_{n=-∞~∞} u_(n-1) *χ_[n,n+1) < +∞ (ⅳ)（|f_p(x)| <= g(x) for p >= 1） 對每個 [n/p, (n+1)/p) 區間，n€Z, n/p 一定落在某個 [N,N+1) 區間中。 若 (n+1)/p <= N+1，則 所有 [n/p, (n+1)/p) 內的 x 都有 |f_p(x)| <= g(x)。 若 (n+1)/p > N+1，則 因為 p >= 1，所以 (n+1)/p <= N+2； 所有 [n/p, N+1) 內的 x 都有 |f_p(x)| <= g(x)； 所有 [N+1, (n+1)/p) 內的 x 都有 |f_p(x)| <= u_N <= g_(N+1) = g(x)。 ========================================================================== 2.關於原po提的4個問題， 我忘了說 [0, 0.5] 那邊用直線連起來，函數值都是1，方便起見只考慮單邊。 (1) f 是 L^1(R)，因為函數在 [1,∞) 被 1/x^2 給壓住，[0,1] 內有界。 級數收斂for all p 也對，用 p^2/x^2 壓住 + 級數的comparison test。 (2) (*)會成立。 在 [1,∞) 本來是說用 1/x^2 平移來壓住 u(x)，於是 u(x)€L^1(R)。 現在發現直接看級數，用1/x^2 壓住 (C4)就成立。再用前面證的定理即可。 (3) 非BV沒錯。 每個正整數點跟前一個整數點之間有 n 個振盪，振幅是 1/n^2， Σ_{n=1 to ∞} 2 * n * 1/n^2 <= V[f,[0,∞)] (4) f連續沒錯，x 往無限大時 f 趨近於 0 沒錯。 ========================================================================== 3.關於BV 直觀上覺得有 f€L^1(R)、(C1)、(C3)、BV，應該就會有(*)，畢竟反例應該都掛了。 直觀的想法是，若有BV,就不會有無限多的 x 讓f(x)的值跑到會讓級數發散的地方。 ----------------------------------------------------------------- <Theorem> Let f€L^1(R) and |f|<=M on R ---(C1) and f is continuous a.e. on R ---(C3) and f is BV function. Then Σ_{n=-∞~∞}sup{|f(x)|, x€[n,n+1)} converges ---(C4) ----------------------------------------------------------------- 證明的想法： 假設(C4)是錯的，Σ_{n=-∞~∞}sup{|f(x)|, x€[n,n+1)} = +∞ 目標是total variation V[f,R] 要爆掉。 (ⅰ) 令 u(x) = Σ_{n=-∞~∞} u_n *χ_[n,n+1), u_n = sup{|f(x)|, x€[n,n+1)} l(x) = Σ_{n=-∞~∞} u_n *χ_[n,n+1), l_n = inf{|f(x)|, x€[n,n+1)} 則對每個 x 都有 l(x) <= |f(x)|，於是 l(x)€L^1(R) 由假設(C4)是錯的，∫u(x)dx = +∞ (ⅱ) 因為 | |f(x_(i+1))|-|f(x_i)| | <= | f(x_(i+1))- f(x_i) |， 所以 V[|f|,R] <= V[f,R]。 (ⅲ) 因為 ∫u(x)-l(x)dx = +∞，所以Σ_{n=-∞~∞} u_n - l_n = +∞ 但 Σ_{n=-∞~∞} u_n - l_n <= V[|f|,R] <= V[f,R]，與 f 是BV 矛盾。 ==========================================================================
推
10/15 21:25, 4年前 , 59F
另外,也有點好奇z大新版本的定理大概是怎麼證的
10/15 21:25, 59F
我證單邊的模式, 雙邊類似, 只是f(0)這一項額外提出來給1/p壓掉即可 https://www.desmos.com/calculator/3xyysgekfl
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10/16 09:05, 4年前 , 60F
那串推文可以用"推"分成三部分,完整打可能要晚一點
10/16 09:05, 60F
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10/16 09:07, 4年前 , 61F
另外我剛發現第一部分那個控制函數可能無法大於等於
10/16 09:07, 61F
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10/16 09:08, 4年前 , 62F
|f_p(x)| for all p
10/16 09:08, 62F
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10/16 09:11, 4年前 , 63F
等於整個幾乎都要打掉(哭
10/16 09:11, 63F
沒關係啦XDD 有空你再寄站內給我我幫你貼上就好, 推長文不太好看 謝謝討論囉~
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10/17 20:10, 4年前 , 64F
目前的進展是滿足條件下似乎可以構造出LDCT用的控制
10/17 20:10, 64F
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10/17 20:11, 4年前 , 65F
函數,但還是要完整寫出來才能確定
10/17 20:11, 65F
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10/17 20:12, 4年前 , 66F
另外,我開始好奇如果在有限區間內,條件只有f是L^1,
10/17 20:12, 66F
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10/17 20:14, 4年前 , 67F
finite,不連續點的集合0測度,這樣是否足夠,或者還要
10/17 20:14, 67F
→
10/17 20:16, 4年前 , 68F
再加什麼條件才能讓無上/下界的f能滿足(*)
10/17 20:16, 68F
昨天為了解決" Σ_{n=-∞~∞}f(n/p) converges "這個條件(還是覺得下這個太刻意) 想到" f(x) = O(1/x^q), q>1 " 這個條件可以達成 進而發現這個條件就可以達成我要的控制函數了... 也就是說, 最後我認為最滿意的版本是: ----------------------------------------------- <Theorem> Let f s.t. |f|<=M on R and |f|<=g for some monotone g€L^1 (因為g€L^1所以立得g遞減到0) and f is continuous a.e. on R Then (1) f€L^1 (2) R.H.S of (*) exists for all p > 0 (3) (*) 成立 ------------------------------------------------ 反而total bounded variation那個版本的證明我發現: (a) 上界多估了好多東西 (b) 還是無法保證級數的收斂性 好像控制震盪性又不是那麼足夠 而最初只想到要由f本身去做假設然後造出控制函數, 就沒想到用" 有個單調的控制函數 "當假設即可 ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/17/2021 21:36:05
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10/18 16:33, 4年前 , 69F
最後這個版本感覺確實比較好用,我也錯過了它
10/18 16:33, 69F
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10/18 16:35, 4年前 , 70F
好奇你也是用例如平移1單位,並限制p>=1的方式來壓住
10/18 16:35, 70F
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10/18 16:35, 4年前 , 71F
|f_p(x)|嗎？
10/18 16:35, 71F
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10/18 16:36, 4年前 , 72F
另外你定理寫的條件感覺有點怪
10/18 16:36, 72F
1. 我是正向f(n/p)都往左邊造step function然後用g的單調性控制住 即 f(n/p)*χ_((n-1)/p,n/p] 2. 哪邊怪怪的呢??
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10/18 20:08, 4年前 , 73F
定理裡面的第二行看起來是只有一個單調函數g 在整個
10/18 20:08, 73F
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10/18 20:08, 4年前 , 74F
R上要L^1又要壓住|f|
10/18 20:08, 74F
沒錯耶, 概念來自於要讓級數存在的話, 我之前有過假設 f(x) = O(1/x^q), q>1 這樣就可以讓級數存在, 之後我更發現這個 C/x^q 就可以當 f_p(x) 的控制函數 你覺得怪怪的地方我寫清楚後應該如下: Let f s.t. |f|<=M on R and |f|<=g for some monotone g€L^1 Then |f_p(x)|<=g(x), where f_p(x) = Σ_{n=1~∞} f(n/p)*χ_((n-1)/p,n/p]
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10/18 22:14, 4年前 , 75F
要不要像(C2)那樣分三段,左右兩段各有一個單調函數
10/18 22:14, 75F
是需要呀, 只是我都寫一邊而已(正向)XD, 所以左右都要就是 |f|<=g , g€L^1(R), g is monotonic on [A,∞) and (-∞,-A] ※ 編輯: znmkhxrw (59.102.225.191 臺灣), 10/18/2021 22:21:06
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