[微積] Apply the Ratio Test to power series

看板Math作者 (沒有暱稱)時間2年前 (2021/10/08 11:03), 2年前編輯推噓2(2推 0噓 18→)
留言20則, 2人參與, 2年前最新討論串1/1
書上關於ratio test是用在非負數的數列上，如紅字底所述: https://i.imgur.com/PGDYpvy.png
但書上還是把ratio test用在power series上。 這是ratio test的ratio < 1的證明: https://imgur.com/WEX56NW
https://imgur.com/f4p7FrB
請問是否可理解成在證明時的(1 + r + r^2 + ...)這一段，在power series上變成 (1 - r + r^2 - ...)? 然後再用The Alternating Series Test (Leibniz’s Test) 做判斷 (1 - r + r^2 - ...)是否收斂? -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 210.242.38.34 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1633662189.A.243.html
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10/08 11:33, 2年前 , 1F
第三張圖連結打不開
10/08 11:33, 1F
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10/08 11:41, 2年前 , 2F
不過其實只要lim |a_{n+1}/a_n| < 1, 就是絕對收斂
10/08 11:41, 2F
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10/08 11:42, 2年前 , 3F
lim |a_{n+1}/a_n| > 1 就是發散
10/08 11:42, 3F
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10/08 11:42, 2年前 , 4F
可以不用管正負號
10/08 11:42, 4F
改了 這樣看的到? 對啊 但我想確認為什麼他證明的時候只有用非負的項? ※ 編輯: anoymouse (210.242.38.34 臺灣), 10/08/2021 12:02:09
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10/08 12:13, 2年前 , 5F
1+r+r^2...收斂性不需用用到ratio test或alternati
10/08 12:13, 5F
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10/08 12:13, 2年前 , 6F
ng series test呀
10/08 12:13, 6F
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10/08 12:17, 2年前 , 7F
他是用已知的geometric series的收斂條件去證明rat
10/08 12:17, 7F
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10/08 12:17, 2年前 , 8F
io test
10/08 12:17, 8F
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10/08 12:18, 2年前 , 9F
我知道啊 但我現在是1-r+…也不用alternate?
10/08 12:18, 9F
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10/08 12:33, 2年前 , 10F
你是說哪裡會用到1-r+r^2... ?
10/08 12:33, 10F
是
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10/08 12:35, 2年前 , 11F
你是說第一張圖的(b)嗎?
10/08 12:35, 11F
推
10/08 12:40, 2年前 , 12F
他的解答是直接去證明|x|<1時,sum(|u_n|)收斂, 所以
10/08 12:40, 12F
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10/08 12:41, 2年前 , 13F
sum(u_n) 是絕對收斂
10/08 12:41, 13F
是Compairson test的概念嗎? Σ|u_n|>Σu_n 所以|u_n|收斂 u_n絕對收斂?
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10/08 12:41, 2年前 , 14F
而sum (|u_n|) 的每一項都是正的, 所以也用不到
10/08 12:41, 14F
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10/08 12:41, 2年前 , 15F
alternating series test
10/08 12:41, 15F
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10/08 12:43, 2年前 , 16F
更正: sum (|u_n|) 每一項都非負
10/08 12:43, 16F
推
10/08 12:53, 2年前 , 17F
更正: 我說的是解答的a
10/08 12:53, 17F
※ 編輯: anoymouse (210.242.38.34 臺灣), 10/08/2021 12:56:31
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10/08 12:54, 2年前 , 18F
(b) 應該也是一樣的意思
10/08 12:54, 18F
對 都是一正一負 一樣的意思
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10/08 12:55, 2年前 , 19F
把ratio test用在 取絕對值之後的級數 上
10/08 12:55, 19F
※ 編輯: anoymouse (210.242.38.34 臺灣), 10/08/2021 12:57:14
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10/08 12:59, 2年前 , 20F
等一下你的書上前面沒有講"absolute convergence"嗎
10/08 12:59, 20F
有耶 看到才想起來 感謝mantour的耐心回答 非常詳細 ※ 編輯: anoymouse (210.242.38.34 臺灣), 10/08/2021 13:03:59 ※ 編輯: anoymouse (210.242.38.34 臺灣), 10/08/2021 13:05:46
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