[微積] 請教基本極限問題

看板Math作者 (昂首闊步武陵人)時間4年前 (2021/09/28 11:14), 編輯推噓2(2推 0噓 22→)
留言24則, 5人參與, 4年前最新討論串1/1
向來都是以左、右極限相同做為極限存在之定義， 但是若只在單邊有定義的極限要如何定義？ 例如f(x) = sqrt(x)在x=0之極限。 小弟查過微積分的書籍，似乎沒有看到相關的說法， 而問過一些友人的意見，得到的都是因左極限不存在，所以極限不存在。 小弟個人是覺得既然只有單邊定義， 那就自然只能看右極限，故其極限為0。 在此想請教各位先進的看法，謝謝！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 211.23.3.218 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1632798866.A.969.html
推
09/28 11:53, 4年前 , 1F
ε-δ 定義
09/28 11:53, 1F
→
09/28 12:19, 4年前 , 2F
在既可考慮左極限又可考右極限的情況下(←這是前提
09/28 12:19, 2F
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09/28 12:19, 4年前 , 3F
！)，普通極限存在<==>左丶右極限皆存在且兩者相等
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。 若函數在某點只能考慮單邊極限，那普通極限就等
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於它的單側極限。
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推
09/28 12:31, 4年前 , 6F
首先你應該捨棄向來二字。
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09/28 14:13, 4年前 , 7F
reference可參考 Thomas' Calculus_Early Transcen
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dentals_14ed, p.84 (sec2.4 theorem6)
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09/28 14:42, 4年前 , 9F
順便請教一下，如果一個函數的定義域就只有x=0這一
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點，那此函數在x=0的極限是否存在，此函數是否連續
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？
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又，如果函數的定義域是x<-1, x=0, 和x>1的聯集，
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那在x=0的極限是否存在，在x=0是否連續。
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09/28 14:49, 4年前 , 14F
直觀上感覺沒有斷點，而且如果定義域只有一個點，
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寫成delta, epsilon的話，鄰域就是空集合，後面應
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該不管什麼命題都成立，應該可以當作連續。
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09/28 14:50, 4年前 , 17F
但是遇到第二種情況，又覺得好像應該是不連續
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1.討論極限的前提在: x=c要是dom f的1個聚點(clust
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er point) ，否則的話討論起來並沒有意義(你可以說
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f在c的極限值是任何1個實數值都對)。 2. dom f 若
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有孤立點(isolated point)，則f在其孤立點必連續 (
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由連續的 ε-δ 定義顯然易知)。
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09/29 06:47, 4年前 , 23F
謝謝j大說明
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09/30 15:12, 4年前 , 24F
感謝以上各位卓見！
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