Re: [其他] 逆運算求特解
※ 引述《Yic0197 (科科科55)》之銘言：
: 用逆運算子和答案少一項？
: 其他方法和解答一樣
: 想知道是因為在用逆運算子的時候不能分子分母對消？還是其他原因 謝謝
: https://i.imgur.com/Xwbm1s9.jpg
那條式子是這樣來的：
L(D)(xf) = xL(D)f + L'(D)f
然後把 f 用 L(D)\V 換掉，變成
L(D)(x[L(D)\V]) = xV + L'(D)[L(D)\V]
最後再整條式子都用 L(D) 左除
x[L(D)\V] = L(D)\(xV) + L(D)\L'(D)[L(D)\V]
移項完才得到
L(D)\(xV) = x[L(D)\V] - L(D)\L'(D)[L(D)\V]
一般情況下，因為 分母的 L(D) 與分子的 L'(D) 是可交換的，
所以我們並不在意順序，將最後一項寫作 L(D)^2\L'(D)V。
但這個寫法現在顯然有問題，因為此刻 L'(D)V = 0。
那我們大概也不能隨便亂約分了？這個問題晚點說明。
逆運算子法在某程度上是有點亂來的計算方式，所以有些規則會更嚴格。
例如運算的順序。
L(D)\L'(D)[L(D)\e^x]
= L(D)\L'(D)(x^2*e^x)/6
= L(D)\[(2x+1)e^x]
= 2L(D)\(xe^x) + (x^2*e^x)/2
= 2L(D)\(xV) + (x^2*e^x)/2
代回 L(D)\(xV) = x[L(D)\V] - L(D)\L'(D)[L(D)\V]
得到 L(D)\(xV) = (x^3*e^x)/6 - ( 2L(D)\(xV) + (x^2*e^x)/6 )
所以 (D^3-3D+2)\(xe^x) = (x^3*e^x)/18 - (x^2*e^x)/18
一般來說，這時候大概會抗議：
「可是V先積分再微分會變回V，這是微積分基本定理誒！為什麼不能約分啊？」
所以可以約分，但可以約分不代表可以交換。
被約掉的 D-1 在 L(D)\L'(D)[L(D)\e^x] 裡面藍色的那邊。
所以在 D+1 運算上去之前，一定要先運算一次 (D-1)^-1。
這已經是最低限度的妥協了。
在函數空間的其他地方，交換性通常都沒有問題，
但一扯到 多項式*e^x，那 (D-1)^-1 的順序就不能亂放了。
為了發新文章才發現即使有小心順序也還是不行。
最大的問題在於操作三次同一個逆運算，這已經超過原本容許範圍了。
多的那一次會造成一項係數待定項。
（如果多兩次就會有兩項，以此類推。）
另外，這題除了部份分式的做法，也比較適合這樣做：
(D-1)^2\[(D+2)\xe^x]
黃色部份可以直接用你喜歡的這條公式。
後面的計算也只是逆運算子的基本公式。
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※ 編輯: Vulpix (163.13.112.58 臺灣), 08/18/2021 20:30:05
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