[微積] 想問E(x^4)，x為常態分佈怎麼算

看板Math作者 (以前曾經很帥)時間4年前 (2021/05/06 14:40), 4年前編輯推噓3(3推 0噓 12→)
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想問E(x^4)，x為常態分佈怎麼算 E為取期望值的意思 有沒有人可以指點我一些方向 謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 223.137.52.227 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1620283227.A.7C6.html
推
05/06 15:22, 4年前 , 1F
動差
05/06 15:22, 1F
我試過用動差了，但根本沒辦法化簡，因為常態分佈的積分是特殊函數 ※ 編輯: keyesleo (223.137.52.227 臺灣), 05/06/2021 15:41:41
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05/06 16:29, 4年前 , 2F
Stein lemme
05/06 16:29, 2F
推
05/06 16:33, 4年前 , 3F
mgf可以做 直接積分應該會用到gamma
05/06 16:33, 3F
推
05/06 16:37, 4年前 , 4F
常態母函數可以算吧，就微四次就好了
05/06 16:37, 4F
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05/06 17:29, 4年前 , 5F
05/06 17:29, 5F
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05/06 17:39, 4年前 , 6F
mgf 直接展開對係數也可以
05/06 17:39, 6F
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05/06 19:11, 4年前 , 7F
分部積分可把 E(X^4) 變成 E(X^2).
05/06 19:11, 7F
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05/07 06:52, 4年前 , 8F
以標準常態分布而言, φ(x) = e^(-x^2/2)/√(2π),
05/07 06:52, 8F
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05/07 06:54, 4年前 , 9F
∫x^4φ(x) = [-x^3φ(x)] + 3∫x^2φ(x)dx
05/07 06:54, 9F
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05/07 06:55, 4年前 , 10F
∴ E[X^4] = 3E[X^2]
05/07 06:55, 10F
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05/07 06:55, 4年前 , 11F
以一般常態分布而言,
05/07 06:55, 11F
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05/07 06:59, 4年前 , 12F
E[X^4] = E[(X-μ)^4]+6μ^2E[(X-μ)^2]+μ^4 而
05/07 06:59, 12F
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05/07 07:00, 4年前 , 13F
E[(X-μ)^4] = 3σ^2E[(X-μ)^2]
05/07 07:00, 13F
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05/07 13:57, 4年前 , 14F
MGF微四次
05/07 13:57, 14F
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05/07 16:33, 4年前 , 15F
05/07 16:33, 15F
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