[線代] 兩個 eigenvector 垂直

看板Math作者 (凝結的時間)時間4年前 (2021/03/02 07:19), 4年前編輯推噓2(2推 0噓 22→)
留言24則, 3人參與, 4年前最新討論串1/1
假設我有一個 3*3 matrix T, 使得 T 的三個 eigenvalue 都不一樣，且和為零 (<=> tr(T) = 0) 現在想要找一個簡單的判別方法， 來判定其中兩個 eigenvectors 有沒有互相垂直 請問有沒有這樣的方法? 希望能用一些簡單的值像是 determinant 跟 minors 來刻畫 或是用 matrix 的性質類似於 symmetric, normal 這種 謝謝大家 p.s. 如果一般的情況不知道怎麼辦， 也可先假設這兩個 eigenvectors 對應的 eigenvalues 是兩個共軛的複數 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 218.173.26.140 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1614640747.A.B39.html
推
03/02 07:35, 4年前 , 1F
雖然只是個方向, 但如果對角化 T = U^-1 D U
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再設 v 是 T 的一個 eigenvector 就能推得 Uv 是
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D 的 eigenvector, 但對角矩陣的 EV 是單位向量
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也就是說 U 把兩個垂直向量仍然變成垂直
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這應該可以給條件(2)一點方向
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推
03/03 12:28, 4年前 , 6F
令T=第一列a1 a2 a3第二列 b1 b2 b3 第三列c1 c2 c3
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03/03 12:30, 4年前 , 7F
三個特徵值為det(T-LUMBDAI)此三次方程根，可以套卡
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當諾方程寫出顯式解。
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T的三個EIGEN VALUE不一樣可轉化為此特徵方程有相異
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03/03 12:32, 4年前 , 10F
根。滿足三次程的三相異根判別式，維基即可查閱。
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03/03 12:34, 4年前 , 11F
TR(T)為零代表此三次方程的二次項為零(韋達公式)，
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03/03 12:35, 4年前 , 12F
這裡得不到新東西。單純a1+b2+c3=0
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03/03 12:36, 4年前 , 13F
第二題要求特徵向量，因為已知T和特徵值，計算T-LUM
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03/03 12:38, 4年前 , 14F
BDA_1 I的第一行和第二行(任兩行皆可)外積，可得特
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03/03 12:39, 4年前 , 15F
徵向量可表為a1 a2 a3外積b1 b2 b3為2*2MINOR行列式
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03/03 12:40, 4年前 , 16F
選兩個LUMBDA算兩個外積得兩特徵向量，再列出內積=0
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03/03 12:41, 4年前 , 17F
滿足以上條件的T即為所求。形式不會太複雜，但把LUM
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03/03 12:41, 4年前 , 18F
BDA寫成顯式會很複雜
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03/03 12:42, 4年前 , 19F
LUMBDA1，2，3三特徵值確實可由a1a2a3b1b2b3c1c2c3
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表達
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※ 編輯: HmmHmm (218.173.2.190 臺灣), 03/03/2021 15:36:47
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03/03 15:37, 4年前 , 21F
不好意思 eigenvalues 全相異且和為零是假設
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03/03 15:38, 4年前 , 22F
真的想要刻畫的性質是 eigenvector 垂直 已改文章
03/03 15:38, 22F
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03/03 15:41, 4年前 , 23F
chemmachine 謝謝你的回答，不過這真的好複雜....
03/03 15:41, 23F
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03/03 15:42, 4年前 , 24F
而且任兩行不能保證他們是 linearly independent
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