[線代] 想請教高手幾題線代觀念

看板Math作者 (霧裡看熊)時間3年前 (2021/01/30 22:40), 編輯推噓0(0推 0噓 21→)
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https://i.imgur.com/pjp5Ex7.jpg
第一題我只看的出來H矩陣是投影矩陣，其他就不知該如何下手了。 https://i.imgur.com/0UVsRY5.jpg
第四題我想請教的是C選項，不太曉得如何判斷。 https://i.imgur.com/EycP2vl.jpg
以及這邊的第三題，也是不太知道如何判斷。 https://i.imgur.com/xNTBFAJ.jpg
這邊題號一的只要丙和丁選項，我大概有求出，但想確認一下答案。 題目出處，台大財金所乙組考古題，本人有修過線代，但當時教的和考題的考風有小落差 ，自己翻網路跟講義解了七、八成還行，剩下真的有些困擾QQ，還請高手指教。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 49.214.215.235 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1612017651.A.D43.html
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4.(c)A-nI=C(B-nI)C^(-1)
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3.因為特徵值相異，所以存在可逆矩陣C使得CAC^(-1)
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是對角矩陣 乙丙丁用4.(c)應該能做
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01/31 16:30, 3年前 , 4F
第一題 H 為冪等, 其徵值非0即1. I-H 亦冪等.
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01/31 16:33, 3年前 , 5F
第四題 A-kI = C(B-kI)C^(-1)
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01/31 16:37, 3年前 , 6F
第三題 rank(AA^T) = rank(A) = 3, 另 A^n 的徵值為
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01/31 16:39, 3年前 , 7F
A 之徵值的 n 次方, 故 A 之多項式的徵值易得.
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01/31 16:57, 3年前 , 8F
令 H=A^T(AA^T)^gA "^g" 代表 generalized inverse.
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01/31 17:00, 3年前 , 9F
則 H 為 CS(A) 上之正交投影矩陣. Ax=0 iff Hx=0 且
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01/31 17:08, 3年前 , 10F
以止2列作廢. 有點亂, 再想想.
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01/31 17:14, 3年前 , 11F
Ax=0 iff. A^TAx=0, 故 N(A)=N(A^TA).
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01/31 17:17, 3年前 , 12F
令 CS(A^TA) 上之正交投影矩陣為 H, A^TA 為n階方陣
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01/31 17:19, 3年前 , 13F
則對任意 x in R^n, x = Hx + (I-H)x, Hx in CS(H)
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01/31 17:20, 3年前 , 14F
即 CS(A^TA), (I-H) in N(A^TA)=N(A), 故 R^n 為
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01/31 17:22, 3年前 , 15F
N(A) 與 CS(A^TA) 之和, 且兩子空間垂直. 故兩者互
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01/31 17:22, 3年前 , 16F
為對方之正交補空間.
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01/31 17:35, 3年前 , 17F
令 P 為 CS(A) 上的垂直投影矩陴 P=A(A^TA)^gA^T,
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01/31 17:37, 3年前 , 18F
則 A^TP = A^T (PA=A). y - A^Tx 則 y=A^TPx=A^TAz
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01/31 17:40, 3年前 , 19F
其中 z=(A^TA)^gA^T, 故 y in CS(A^TA)=RS(A^TA).
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01/31 17:41, 3年前 , 20F
反之, y in RS(A^TA) 則 y=(A^TA)x=A^T(Ax)in RS(A)
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02/01 21:13, 3年前 , 21F
謝謝樓上！！
02/01 21:13, 21F
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