[中學] 互質的證明

看板Math作者 (最愛健身小刺蝟)時間3年前 (2020/12/02 10:19), 編輯推噓5(5推 0噓 21→)
留言26則, 8人參與, 3年前最新討論串1/1
請教先進一個證明 若a,b互質，則a+b和a×b必互質 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 180.217.195.92 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1606875555.A.4BD.html
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12/02 10:37, 3年前 , 1F
令(a+b,ab)=d, d│a+b且d│ab
12/02 10:37, 1F
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12/02 10:38, 3年前 , 2F
則d│(a+b)*(b)+ a*b(-1)=b^2
12/02 10:38, 2F
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12/02 10:38, 3年前 , 3F
d│(a+b)(a)+a*b(-1)=a^2
12/02 10:38, 3F
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12/02 10:39, 3年前 , 4F
得d│(a^2,b^2);(a,b)=1 a,b互質 d=1
12/02 10:39, 4F
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12/02 15:29, 3年前 , 5F
Gcd(a+b,a)=gcd(a+b,b)=gcd(a,b)=1. Hence gcd(a+b,
12/02 15:29, 5F
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12/02 15:29, 3年前 , 6F
ab)=1.
12/02 15:29, 6F
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12/02 15:37, 3年前 , 7F
請問gcd(a+b,a)=gcd(a+b,b)怎麼得到?
12/02 15:37, 7F
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12/02 16:16, 3年前 , 8F
gcd(a,b)|(a+b),怎麼確定gcd(a,b)也是a+b和a的最大
12/02 16:16, 8F
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12/02 16:16, 3年前 , 9F
公因數呢?
12/02 16:16, 9F
推
12/02 16:25, 3年前 , 10F
輾轉相除法就可以說明了
12/02 16:25, 10F
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12/02 16:25, 3年前 , 11F
回yuck的留言
12/02 16:25, 11F
推
12/02 17:30, 3年前 , 12F
寫成 gcd(a+b,a)=gcd(a,b)=gcd(a+b,b) 應該清楚些
12/02 17:30, 12F
推
12/02 19:18, 3年前 , 13F
謝謝LPH大 好像懂了
12/02 19:18, 13F
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12/02 19:56, 3年前 , 14F
等一下a=qr+k k>q時 gcd(a,q)=gcd(q,k)也成立嗎?
12/02 19:56, 14F
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12/02 20:20, 3年前 , 15F
gcd(a,q)=gcd(q, a mod q)=gcd(q,k)
12/02 20:20, 15F
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12/03 00:17, 3年前 , 16F
假設a>b gcd(a+b,a)=gcd(a,b)可以了解但是gcd(a+b,b
12/03 00:17, 16F
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12/03 00:18, 3年前 , 17F
gcd(b+a,b)=gcd(a,b)這一步就不知道怎麼得 當a>b
12/03 00:18, 17F
推
12/03 00:56, 3年前 , 18F
Let A={n∈N:n|a & n|b}, B={n∈N:n|a+b & n|b}
12/03 00:56, 18F
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12/03 00:57, 3年前 , 19F
易證 A=B, 所以若 Max A 存在, Max A = Max B
12/03 00:57, 19F
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12/03 01:37, 3年前 , 20F
設 c = gcd(b+a,b), d = gcd(a,b)
12/03 01:37, 20F
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12/03 01:37, 3年前 , 21F
c | a+b, c | b, 因此 c | a, 於是 c | d
12/03 01:37, 21F
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12/03 01:37, 3年前 , 22F
d | a, d | b, 因此 d | b+a, 於是 d | c
12/03 01:37, 22F
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12/03 01:37, 3年前 , 23F
得到 c = d
12/03 01:37, 23F
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12/03 01:37, 3年前 , 24F
不要光只會用 gcd(a, b) = gcd(b, r)
12/03 01:37, 24F
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12/03 01:37, 3年前 , 25F
多用 gcd 原本的定義ow o
12/03 01:37, 25F
推
12/04 13:50, 3年前 , 26F
謝謝E, T大, 我懂了 以後自己多想想
12/04 13:50, 26F
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