[微積] 請教 極值 Lagrange 相關問題

看板Math作者 (抵換關係-1+1)時間5年前 (2020/11/01 22:08), 5年前編輯推噓8(8推 0噓 77→)
留言85則, 3人參與, 5年前最新討論串1/1
想請問各位高手 如附圖 https://imgur.com/RyBvOQZ
我想求出最適的W* 可以使得π 得到最大值 在有限制式的情況下，我的第一個想法是用Lagrange，但是我只會單一限制式(令一個λ 然後將限制式左右相減)，在多限制下我想不出來如何解，而我採用忽略限制式的方法， 直接令π一皆微分=0，求出W* 卻無法確認其範圍是否合乎限制式範圍(僅能確認一半範圍 )。 請教各位解法 謝謝各位 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.117.21.120 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1604239700.A.C02.html
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11/01 22:25, 5年前 , 1F
你這不就是一個 w 的二次式而已？要怎樣確認符合範
11/01 22:25, 1F
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11/01 22:25, 5年前 , 2F
圍，兩邊減減看有沒有符合大小關係
11/01 22:25, 2F
回覆C大謝謝C大提供的方法我的解確實不在限制式範圍內
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11/01 22:31, 5年前 , 3F
不是很懂π到底是π(w)而其他α,v,r,h,c只是滿足1到
11/01 22:31, 3F
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11/01 22:33, 5年前 , 4F
5的常數 還是π其實是π(α,w,v,r,h,c) 兩者處理方
11/01 22:33, 4F
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11/01 22:34, 5年前 , 5F
式不太一樣 而後者不是用dπ/dw來解的 冏
11/01 22:34, 5F
回覆M大，α,w,v,r,h,c皆為該函數的自變數，所以我不應該用dπ/dw 那該用什麼方法呢?謝謝
推
11/02 00:23, 5年前 , 6F
你這個是碩士論文的題目還是paper的文章？
11/02 00:23, 6F
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11/02 00:24, 5年前 , 7F
你的combine all 那一行計算可能有誤
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11/02 00:25, 5年前 , 8F
因為你r 和c 同號由你的r/c>0
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11/02 00:26, 5年前 , 9F
你的h沒給範圍或說它是定值。
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推
11/02 00:30, 5年前 , 10F
這種限制式含多個不等式的，用kkt方法可以有公式化
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11/02 00:30, 5年前 , 11F
的解法，kkt寫起來很長，我懶得寫了，然後用了kkt
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11/02 00:30, 5年前 , 12F
還必須解高維多次方程。所以必須用到數學軟體。你
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11/02 00:30, 5年前 , 13F
的這題我套到wolfram 是極大和極小都發散的，你的題
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11/02 00:30, 5年前 , 14F
目可能條件不夠。
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推
11/02 00:32, 5年前 , 15F
11/02 00:32, 15F
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11/02 00:33, 5年前 , 16F
不知道你會不會指令，我試你的式子是maxvalue和minv
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11/02 00:33, 5年前 , 17F
alue 都不存在，發散的意思
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11/02 00:35, 5年前 , 18F
用範例改成五維，>=就是大於等於，＜=就是小於等於
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11/02 00:35, 5年前 , 19F
。
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推
11/02 00:36, 5年前 , 20F
我有測試很簡單的五維是可以解答的，所以並不是回
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11/02 00:36, 5年前 , 21F
傳錯誤的關係，應該是極大極小真的發散
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回覆M大，這是我在嘗試修改paper的模型，r、c同號沒有錯，h的範圍是 >= c 且v >= h， 請問是在wolfram 上解出多限制下的kkt嗎? 謝謝回覆 ※ 編輯: hardandhard (1.173.24.52 臺灣), 11/02/2020 01:35:27
推
11/02 01:49, 5年前 , 22F
wolfram可以解，我試過了，他解出來應該是無限大，
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11/02 01:49, 5年前 , 23F
最小是負無限大。明天再回你，告訴你指令。wolfram
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11/02 01:49, 5年前 , 24F
是免費網站。
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11/02 01:49, 5年前 , 25F
理論就是kkt，這講起來很複雜，你可以找ptt鏡像網
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11/02 01:49, 5年前 , 26F
站，我的帳號發文和推文，有四五篇講拉格朗日差值法
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11/02 01:49, 5年前 , 27F
的，我有講哪裡有kkt的資料。
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11/02 01:49, 5年前 , 28F
要懂全部的理論要會拉格朗日，極值定理，海森矩陣，
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11/02 01:49, 5年前 , 29F
不等式和等式限制式的拆解等。我自己弄懂大概三個星
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11/02 01:49, 5年前 , 30F
期。
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11/02 07:00, 5年前 , 31F
你可以如上找一個數值軟體如SciPy來解 也可以用極值
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11/02 07:00, 5年前 , 32F
定理搭Lagrange來解 令所有滿足條件1到5的
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11/02 07:01, 5年前 , 33F
(α,w,v,r,h,c)所成的集合為我們的domain 一般流程
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如下
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11/02 07:02, 5年前 , 35F
1.計算▽π=0, 先看算出來的(α,w,v,r,h,c)是否在範
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11/02 07:02, 5年前 , 36F
圍內, 搜集所有符合的解成集合C. 這部份很像你原本
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11/02 07:02, 5年前 , 37F
打算做的東西, 我們就是先考慮所有在domain中
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11/02 07:03, 5年前 , 38F
interior的critical points.
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11/02 07:03, 5年前 , 39F
2.從n=1到5, 任意選n條限制式g1,g2,...,gn出來算
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11/02 07:04, 5年前 , 40F
Lagrange. 算法很簡單, 跟一維的差不多, 就是假設
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存在λ1,λ2,...,λn使得
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11/02 07:04, 5年前 , 42F
▽π=λ1▽g1 +λ2▽g2 +...+ λn▽gn,
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11/02 07:05, 5年前 , 43F
g1=0, g2=0,..., gn=0, 然後去解
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11/02 07:05, 5年前 , 44F
(α,w,v,r,h,c,λ1,λ2,...,λn). 理論上因為是6+n
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11/02 07:05, 5年前 , 45F
條方程式解6+n個變數, 所以解出來應該是離散解. 算
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11/02 07:06, 5年前 , 46F
出來的解看有沒有在範圍內, 搜集所有符合的解成集合
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11/02 07:06, 5年前 , 47F
C_{ni}. 這部份是把在domain的boundary上所有值得考
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11/02 07:07, 5年前 , 48F
慮的點都找出來.
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11/02 07:10, 5年前 , 49F
3.算出所有在domain可能的頂點成集合C', 這部份需要
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11/02 07:11, 5年前 , 50F
對domain的幾何性質有所了解. 不過因為你只有5個限
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11/02 07:11, 5年前 , 51F
制式卻有6個變數, 一般很難形成所謂的頂點.
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11/02 07:12, 5年前 , 52F
4.算出π在C,C_{ni}和C'上的所有值, 找出可能潛在的
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11/02 07:13, 5年前 , 53F
極值. 這部份白話說就是算出所有在critical points
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11/02 07:13, 5年前 , 54F
上的值來做比較.
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11/02 07:13, 5年前 , 55F
5.最重要的一步, 考慮π為何在domain上有極值. 數學
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11/02 07:14, 5年前 , 56F
中有一些理論(如compact)或其變形可以當作輔助說明,
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11/02 07:14, 5年前 , 57F
這是比較嚴格的證明. 一般在非數學系的應用中, 都會
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11/02 07:14, 5年前 , 58F
用一些比如說物理上的理由說明極值存在, 這裡要注意
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11/02 07:15, 5年前 , 59F
的是, 你要確保理由夠充分而不是在瞎說.
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11/02 07:16, 5年前 , 60F
當你有充分的理由相信極值存在的話, 那在4算出來的
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會是極值. 不過如果你沒有足夠的理由說明為何極值會
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11/02 07:17, 5年前 , 62F
存在的話, 那通常你能得到最好的結果是你有算出極大
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11/02 07:17, 5年前 , 63F
值或極小值, 不過也會有可能你算出來的都不是極值
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11/02 07:21, 5年前 , 64F
特別注意的是在找全域極值時 check Hessian matrix
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11/02 07:22, 5年前 , 65F
的正定或負定性是沒辦法說明全域極值的存在性的
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11/02 07:22, 5年前 , 66F
比如說tan(arctan(x)arctan(x-1)arctan(x+1))在全空
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11/02 07:23, 5年前 , 67F
間上有局部極值 但沒有全域極值 更甚者 我們可以找
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11/02 07:24, 5年前 , 68F
一個bounded的地方使得該函數有局部極值而無全域極
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11/02 07:24, 5年前 , 69F
值
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11/02 07:32, 5年前 , 70F
dπ/dw算出來的是在某組固定的(α,v,r,h,c)下的可能
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11/02 07:33, 5年前 , 71F
極值發生點 是一維affine space上的極值問題 如果允
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11/02 07:35, 5年前 , 72F
許(α,v,r,h,c)可以變動 這空間會變成6維有bounday
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11/02 07:36, 5年前 , 73F
的manifold 極值問題的考慮方式是不太一樣的
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11/02 07:52, 5年前 , 74F
kkt condition基本上就是上述1到4(含有部份5)的整合
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11/02 07:52, 5年前 , 75F
推廣 可以注意到基本上我們都只有考慮first derivat
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11/02 07:52, 5年前 , 76F
ive test
11/02 07:52, 76F
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11/02 08:39, 5年前 , 77F
抱歉SciPy似乎沒有直接用KKT的模組 可能要網路上找
11/02 08:39, 77F
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11/02 08:40, 5年前 , 78F
或直接寫一個module(Matlab/GNU Octave,fortran亦同
11/02 08:40, 78F
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11/02 08:41, 5年前 , 79F
) 不好意思
11/02 08:41, 79F
推
11/02 10:21, 5年前 , 80F
11/02 10:21, 80F
推
11/02 10:25, 5年前 , 81F
11/02 10:25, 81F
推
11/02 10:28, 5年前 , 82F
我試過了，限制式不能太多，7.8個以上WOLFRAM會無法
11/02 10:28, 82F
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11/02 10:28, 5年前 , 83F
理，所以把你的限制式合併成一個連續的不等式
11/02 10:28, 83F
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11/02 10:29, 5年前 , 84F
我試了很多次刪減你的限制式，每次結果都不一樣
11/02 10:29, 84F
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11/02 10:29, 5年前 , 85F
然後不等式WOLFRAM是可以合併的，我稍微試了一下
11/02 10:29, 85F
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