[線代] 矩陣子空間的證明

看板Math作者時間3年前 (2020/10/24 22:47), 編輯推噓3(3推 0噓 52→)
留言55則, 3人參與, 3年前最新討論串1/1
https://imgur.com/a/HzbhNte 想請教一下， 題目是指要證明W1∩W2={0}和Mn*n(F)=W1+W2嗎？ 如果是我理解的這樣， 想問一下Mn*n(F)=W1+W2的證明要怎麼下手？ 謝謝！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.119.156.13 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1603550865.A.DFE.html
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10/24 22:52, 3年前 , 1F
對 題目是要證W1∩W2={0}和Mn*n(F)=W1+W2
10/24 22:52, 1F
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10/24 22:56, 3年前 , 2F
給定一個A在Mn*n(F)中 考慮B為 (i<=j) Bij=Aij
10/24 22:56, 2F
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10/24 22:57, 3年前 , 3F
(i>j) Bij=Aji 則B對稱 A-B為嚴格下三角 A=B+(A-B)
10/24 22:57, 3F
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10/24 23:40, 3年前 , 4F
我不太懂第二個證明 是指B在W2裡面 A-B在W1
10/24 23:40, 4F
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10/24 23:40, 3年前 , 5F
裡面嗎？
10/24 23:40, 5F
推
10/24 23:52, 3年前 , 6F
交集空集合顯然；給定任意矩陣A
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10/24 23:52, 3年前 , 7F
定義B(A) (i,j)=B(A) (j,i) =A(i,j) for all i<=j.
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10/24 23:52, 3年前 , 8F
A=[A-B(A)] +B(A) 則前項落在W1裡，後項B(A) 落在W2
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10/24 23:52, 3年前 , 9F
裡，直和分解成立
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10/24 23:52, 3年前 , 10F
這個證明的方法是先假定Mn*n(F)=W1+W2是對的，給定
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10/24 23:52, 3年前 , 11F
A ，然後設B是一個對稱矩陣，最後得到A-B是嚴格下
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10/24 23:52, 3年前 , 12F
三角矩陣嗎？
10/24 23:52, 12F
推
10/24 23:59, 3年前 , 13F
不是，你要證明任意A都可以寫成W1裡面的東西加上W2
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10/24 23:59, 3年前 , 14F
裡面的東西，此處的 addition as in matrix additio
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10/24 23:59, 3年前 , 15F
n
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10/25 00:00, 3年前 , 16F
也就是你要把A湊出這兩個subspace裡面的元素，至於
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10/25 00:00, 3年前 , 17F
怎麼湊就是經驗了XD
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10/25 00:18, 3年前 , 18F
Mn*n(F)=W1+W2這是兩個集合的相等 所以你要證
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10/25 00:20, 3年前 , 19F
你可能只是定義不熟而已，可以回去前面1.3章的子空
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10/25 00:20, 3年前 , 20F
間看看～
10/25 00:20, 20F
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10/25 00:21, 3年前 , 21F
Mn*n(F)⊆W1+W2和W1+W2⊆Mn*n(F) 其中W1+W2⊆Mn*n(F
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10/25 00:23, 3年前 , 22F
是顯然的 所以剩下要證的是Mn*n(F)⊆W1+W2 而其中W1
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10/25 00:24, 3年前 , 23F
+W2的元素都是一個嚴格下三角加上一個對稱矩陣 所以
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10/25 00:25, 3年前 , 24F
我們想證的是任意一個矩陣都是一個對稱矩陣加上一個
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10/25 00:26, 3年前 , 25F
嚴格下三角 意即A=B+L for some symmetric B and
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10/25 00:27, 3年前 , 26F
lower triangular L 比對一下Aij=Bij+Lij就可以推出
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10/25 00:29, 3年前 , 27F
B長什麼樣了 因為是直和 你只有一個目標能湊 所以毫
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10/25 00:30, 3年前 , 28F
無章法亂湊是行不通的
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10/25 00:37, 3年前 , 29F
原po也沒有毫無章法亂湊吧...我覺得原po只是定義不
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10/25 00:37, 3年前 , 30F
夠熟悉而已
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10/25 00:42, 3年前 , 31F
我又沒說原PO毫無章法亂湊 我是說毫無章法亂湊是行
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10/25 00:43, 3年前 , 32F
不通的
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10/25 00:46, 3年前 , 33F
就是要把任意的矩陣A湊出W1跟W2裡面的元素相加，怎
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10/25 00:46, 3年前 , 34F
麼會扯到毫無章法XD？一定是根據這兩個子空間來湊不
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10/25 00:46, 3年前 , 35F
是嗎XD
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10/25 00:47, 3年前 , 36F
當然可能複雜的題目給經驗多的人做，一下子就湊出來
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10/25 00:47, 3年前 , 37F
可能會被說毫無章法賽到就是了...
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10/25 00:49, 3年前 , 38F
我反而會建議原po其實可以很直覺地馬上把B(A) 寫下
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10/25 00:49, 3年前 , 39F
來
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10/25 00:53, 3年前 , 40F
我不太懂為何要曲解我的話 根據已有的知識一步一步
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10/25 00:55, 3年前 , 41F
汰除不可能的選項 或依著線索目標應有的樣子基本上
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10/25 00:57, 3年前 , 42F
就不是毫無章法了 有經驗的人也只是過程比較快而已
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10/25 00:59, 3年前 , 43F
我反而會建議原PO在初學的階段多寫幾次entry-wise的
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10/25 01:00, 3年前 , 44F
東西 這種東西寫過幾次就懂了 學習的過程本來就是前
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10/25 01:02, 3年前 , 45F
面緩慢 而後陡升的 唯有前期緩慢多下基礎功 後面陡
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10/25 01:02, 3年前 , 46F
升的高度才會增加
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10/25 01:07, 3年前 , 47F
基本上是真正寫下來就懂的 不需要假裝自己一眼就能
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10/25 01:07, 3年前 , 48F
看出來
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10/25 01:09, 3年前 , 49F
大概了解了 我會多練習的～
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10/25 01:09, 3年前 , 50F
真的很謝謝h大跟c大！
10/25 01:09, 50F
推
10/25 01:14, 3年前 , 51F
順帶補充一下，原po也可以做做前一題，收穫也會滿多
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10/25 01:14, 3年前 , 52F
的XD
10/25 01:14, 52F
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10/25 01:47, 3年前 , 53F
M=S+A for some symmetric S and anti-symmetric A
10/25 01:47, 53F
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10/25 01:49, 3年前 , 54F
整道題和transpose有關 所以transpose上面那個式子
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10/25 01:50, 3年前 , 55F
就會觀察到答案了 就跟奇偶函數一樣 不是憑空在湊的
10/25 01:50, 55F
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