[中學] 同一代數證明題的不同證明方式
我所屬的高中校友FB群組有學長分享了距今30多年前的數學考卷。
由某個選擇題的選項可知，n為自然數時「2的3n次方減1」恆為7的倍數。
我在證明時想到兩種證法。
第一種是數學歸納法：
令f(x) = (2^3x)-1、且x為自然數，
先證明f(1)是7的倍數，
然後設f(k)是7的倍數、據以證明f(k+1)、f(k+2)也都是7的倍數，
因此得證。
後來又想到第二種證法，是綜合使用指數律及多項式法則：
(2^3x)-1 = [(2^3)^x]-1 = (8^x)-1
已知n為自然數時多項式(a^n)-1恆有因式a-1，
故a=8時(8^x)-1恆有因式 8-1 = 7，
因此得證。
我知道數學歸納法很穩、不會有什麼問題，
但是不確定第二種方法會不會有問題、特別是嚴謹性的問題；
而我高中已畢業快20年、已經無人可問，故在此請問。
謝謝。
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