[線代] 三題

看板Math作者 (等天放晴 到大溪地)時間5年前 (2020/09/28 11:30), 5年前編輯推噓3(3推 0噓 53→)
留言56則, 3人參與, 5年前最新討論串1/1
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想請問這三題如何解？ 第三題我推到T(U)不等於S 感覺沒這麼簡單 另兩題沒頭緒 謝謝大大幫忙!!! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.8.162.251 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1601263852.A.61C.html ※ 編輯: hanabiz (39.8.162.251 臺灣), 09/28/2020 11:31:34
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09/28 13:03, 5年前 , 1F
第4題 對所有T和所有S 交集非0 若且唯若
09/28 13:03, 1F
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09/28 13:08, 5年前 , 2F
(n-dim(T(U)) + dim(S) >= n+1 又0<= dim(T(U))<=i
09/28 13:08, 2F
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09/28 13:09, 5年前 , 3F
所以j>=i+1
09/28 13:09, 3F
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09/28 13:10, 5年前 , 4F
第5題 分別對n是even和n是odd作數學歸納法 可得
09/28 13:10, 4F
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09/28 13:12, 5年前 , 5F
(n even) det= -n^2/4 + 1; (n odd)det=-(n^2-5)/4
09/28 13:12, 5F
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09/28 13:14, 5年前 , 6F
第6題 3階的特徵多項式是 x^3-2*x^2-14x-3 而6階的
09/28 13:14, 6F
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09/28 13:15, 5年前 , 7F
是 x*(x+1)^2*(x^3-2*x^2-14x-3) 所以有3個共同的特
09/28 13:15, 7F
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09/28 13:16, 5年前 , 8F
徵值
09/28 13:16, 8F
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09/28 16:00, 5年前 , 9F
謝謝！第4題還是不太懂 可以再多一些說明嗎？
09/28 16:00, 9F
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09/28 16:16, 5年前 , 10F
第5題是怎麼看出這個規律的？太神奇了……
09/28 16:16, 10F
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09/28 18:05, 5年前 , 11F
先修正一個typo: (m-dim(T(U)) + dim(S) >= m+1
09/28 18:05, 11F
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09/28 18:08, 5年前 , 12F
Lemma 1:Let U,W be subspaces of V. Then
09/28 18:08, 12F
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09/28 18:12, 5年前 , 13F
dim(U) + dim(W) - dim(U∩W) = dim(U+W) >= dim(V)
09/28 18:12, 13F
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09/28 18:15, 5年前 , 14F
由Lemma 1可很容易推得給定一個U 若我們要對所有
09/28 18:15, 14F
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09/28 18:17, 5年前 , 15F
subspace W of dimension k都有W∩U不是{0} 則我們
09/28 18:17, 15F
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09/28 18:20, 5年前 , 16F
必須要該dim(U)+dim(W)>=dim(V)
09/28 18:20, 16F
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09/28 18:21, 5年前 , 17F
上面lemma有個打錯的地方 應該是
09/28 18:21, 17F
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09/28 18:21, 5年前 , 18F
dim(U) + dim(W) - dim(U∩W) = dim(U+W) <= dim(V)
09/28 18:21, 18F
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09/28 18:23, 5年前 , 19F
若dim(U)+dim(W)<=dim(V) 那我們總是找得到W使得
09/28 18:23, 19F
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09/28 18:24, 5年前 , 20F
W∩U=0
09/28 18:24, 20F
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09/28 18:26, 5年前 , 21F
回到第4題 現在給一個subspace T(U)^⊥ 則其維度為
09/28 18:26, 21F
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09/28 18:28, 5年前 , 22F
m-dim(T(U)) 故若我們希望對所有subspace S of dim
09/28 18:28, 22F
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09/28 18:30, 5年前 , 23F
j S∩T(U)^⊥不是零 則(n-dim(T(U)) + i>=m+1
09/28 18:30, 23F
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09/28 18:30, 5年前 , 24F
[09/28 18:20]typo: dim(U)+dim(W)>dim(V)
09/28 18:30, 24F
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09/28 18:35, 5年前 , 25F
至於0<= dim(T(U))<=i 是因為image的dim只會減少 不
09/28 18:35, 25F
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09/28 18:35, 5年前 , 26F
會增加
09/28 18:35, 26F
推
09/28 18:38, 5年前 , 27F
會增加
09/28 18:38, 27F
→
09/28 18:44, 5年前 , 28F
第5題是用程式(SageMath)算一百項 再找規律 如下
09/28 18:44, 28F
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09/28 18:44, 5年前 , 29F
09/28 18:44, 29F
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09/28 18:46, 5年前 , 30F
第6題也是用程式算的 如下
09/28 18:46, 30F
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09/28 18:47, 5年前 , 31F
09/28 18:47, 31F
推
09/28 20:41, 5年前 , 32F
5. 減去 I 之後是個 rank 2 的矩陣，易猜測特徵向量
09/28 20:41, 32F
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09/28 20:42, 5年前 , 33F
形如 (a, b, a, b, ...)，用其附帶求出特徵值，
09/28 20:42, 33F
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09/28 20:43, 5年前 , 34F
再把全部加一相乘即是行列式值
09/28 20:43, 34F
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09/28 20:54, 5年前 , 35F
*易猜測非零特徵值的特徵向量
09/28 20:54, 35F
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09/30 10:14, 5年前 , 36F
第五題可否再多一些說明？謝謝！
09/30 10:14, 36F
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09/30 11:42, 5年前 , 37F
XD 我把時間都耗在其它事物上了 可能要下星期二才能
09/30 11:42, 37F
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09/30 11:43, 5年前 , 38F
完整把他打出來 還是看這段時間有沒有其他能人能補
09/30 11:43, 38F
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09/30 11:43, 5年前 , 39F
上 抱歉
09/30 11:43, 39F
推
09/30 12:41, 5年前 , 40F
5. 舉 n=5 當例子，減去單位矩陣後，奇數列會是
09/30 12:41, 40F
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09/30 12:42, 5年前 , 41F
[0, 1, 0, 1, 0]，偶數列則是 [1, 0, 1, 0, 1]
09/30 12:42, 41F
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09/30 12:42, 5年前 , 42F
按照這規律猜測特徵向量為 (a, b, a, b, a)
09/30 12:42, 42F
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09/30 12:47, 5年前 , 43F
得關係式 2b = λa 及 3a = λb，其中λ為特徵值
09/30 12:47, 43F
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09/30 12:53, 5年前 , 44F
解得 b = ±(√(3/2))a，對應 λ = ±√6
09/30 12:53, 44F
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09/30 12:55, 5年前 , 45F
所以新矩陣的所有特徵值為 (0, 0, 0, √6, -√6)
09/30 12:55, 45F
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09/30 12:55, 5年前 , 46F
原矩陣的則是 (1, 1, 1, 1+√6, 1-√6)
09/30 12:55, 46F
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09/30 12:57, 5年前 , 47F
行列式值則為所有特徵值的積 -5
09/30 12:57, 47F
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09/30 12:57, 5年前 , 48F
註：原矩陣的特徵向量與新矩陣相同
09/30 12:57, 48F
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09/30 12:59, 5年前 , 49F
*行列式值則為所有特徵值的積，也就是 -5
09/30 12:59, 49F
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09/30 15:16, 5年前 , 50F
a大的解法很漂亮
09/30 15:16, 50F
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09/30 15:16, 5年前 , 51F
XD 一開始以為a在講第6題 沒有特別去看解法 剛剛在
09/30 15:16, 51F
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09/30 15:16, 5年前 , 52F
車上重新想一個解法 正要留才發現和a大的解法一樣 X
09/30 15:16, 52F
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09/30 15:16, 5年前 , 53F
D
09/30 15:16, 53F
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09/30 15:16, 5年前 , 54F
原本我induction的解法 因為太多細節要說 打起來很
09/30 15:16, 54F
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09/30 15:16, 5年前 , 55F
長 所以才重新想另一個解法 囧
09/30 15:16, 55F
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09/30 16:46, 5年前 , 56F
謝謝 你們都很厲害！
09/30 16:46, 56F
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