[分析] f(f(x))=x+2=?=>f(x)=x+1

看板Math作者 (chi_square)時間5年前 (2020/09/27 19:00), 5年前編輯推噓10(10推 0噓 97→)
留言107則, 4人參與, 5年前最新討論串1/1
如題，已知對所有x屬於實數 f(f(x))=x+2，可否證明有唯一的f(x)=x+1呢 已經試過很多方法，但是都沒辦法把f(f(x))分開，但又找不到什麼反例 煩請各位先進賜教 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 110.28.164.221 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1601204420.A.990.html ※ 編輯: coastq22889 (110.28.164.221 臺灣), 09/27/2020 19:03:25
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09/27 19:49, 5年前 , 1F
假設f是analytic的話 應該是可以證 不太確定假設連
09/27 19:49, 1F
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09/27 19:50, 5年前 , 2F
續或可微是否可證 什麼都不假設 就有反例如下
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09/27 19:52, 5年前 , 3F
視R是一個over Q的vector space 則由Zorn's lemma可
09/27 19:52, 3F
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09/27 19:56, 5年前 , 4F
得一個包含1的basis B 定義f是一個translation合成
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09/27 19:58, 5年前 , 5F
一個linear map, T。L 其中T(x)=x+1/2, L(1)=1,
09/27 19:58, 5F
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09/27 19:59, 5年前 , 6F
L(b)=-b for all b in B, b不等於1
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09/27 20:02, 5年前 , 7F
Typo:T(x)=x+1 故T。L。T。L(x)=(T。L)(L(x)+1)=
09/27 20:02, 7F
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09/27 20:03, 5年前 , 8F
T(L^2(x)+1) = L^2(x) + 2 = x+2
09/27 20:03, 8F
這裡應該先考慮一些好的條件，例如連續可微反函數存在等等，解析函數不知是否太強，不 過若解析函數能使的f(z)=z+1唯一成立，是否能再進一步利用實部與虛部的對稱來得到實數 的命題呢？ ※ 編輯: coastq22889 (110.28.164.221 臺灣), 09/27/2020 20:11:56
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09/27 22:08, 5年前 , 9F
不太確定為何原PO必須先考慮複解析函數再考慮實解析
09/27 22:08, 9F
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09/27 22:10, 5年前 , 10F
函數 反正我現在也沒那麼確定analytic的case(原本是
09/27 22:10, 10F
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09/27 22:11, 5年前 , 11F
要用類似Theorem 3.4, Complex Analysis, S. Lang去
09/27 22:11, 11F
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09/27 22:13, 5年前 , 12F
硬算 還沒真的驗證過) 不過只考慮可微是有反例的
09/27 22:13, 12F
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09/27 22:14, 5年前 , 13F
令f(x)為下圖中由一堆四分之一圓所連成的函數
09/27 22:14, 13F
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09/27 22:14, 5年前 , 14F
09/27 22:14, 14F
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09/27 22:17, 5年前 , 15F
令g(x)=f(x)-2 則f,g因為對x=y對稱 所以互為反函數
09/27 22:17, 15F
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09/27 22:18, 5年前 , 16F
x=g(f(x))=f(f(x))-2 故f(f(x))=x+2
09/27 22:18, 16F
感謝！居然可以這樣造出反例，讓我再好好研究一下
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09/27 22:21, 5年前 , 17F
有一點小缺陷 上面的例子只能用作連續情況的反例 不
09/27 22:21, 17F
推
09/27 22:23, 5年前 , 18F
那你就把cos的圖形壓扁一點再旋轉之45度啊。
09/27 22:23, 18F
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09/27 22:24, 5年前 , 19F
過改個六分之一圓的相接就可以造可微情況的反例
09/27 22:24, 19F
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09/27 22:26, 5年前 , 20F
然後這就會是解析反例。
09/27 22:26, 20F
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09/27 22:32, 5年前 , 21F
其實也考慮過V大所說的 如果造得出來就會是解析反例
09/27 22:32, 21F
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09/27 22:33, 5年前 , 22F
不過f(x)和f(x)-2對稱於x=y這個條件其實也沒那麼容
09/27 22:33, 22F
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09/27 22:34, 5年前 , 23F
易達成 冏
09/27 22:34, 23F
推
09/27 22:47, 5年前 , 24F
由於 f(x) = y implies f(x+2) = y+2
09/27 22:47, 24F
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09/27 22:48, 5年前 , 25F
所以只要 f 對 y=x+1 對稱再沿 y=x+1 平移根號 2
09/27 22:48, 25F
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09/27 22:48, 5年前 , 26F
的圖形長的一樣就好
09/27 22:48, 26F
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09/27 22:49, 5年前 , 27F
sin(pi x)/2pi 逆時針轉 45 度再往上平移 1
09/27 22:49, 27F
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09/27 22:49, 5年前 , 28F
就符合條件了
09/27 22:49, 28F
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09/27 22:54, 5年前 , 29F
稍微釐清了一下三角函數轉pi/4是ok的 不過會出現新
09/27 22:54, 29F
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09/27 22:55, 5年前 , 30F
的問題 為何轉了之後還是可以解析的
09/27 22:55, 30F
其實不一定要解析啦，連續函數就可以了，解析只是看說如果有更強的條件看有沒有機會達 到
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09/27 22:56, 5年前 , 31F
不過至少三角函數所造出來的例子可以當作無窮可微的
09/27 22:56, 31F
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09/27 22:56, 5年前 , 32F
反例
09/27 22:56, 32F
推
09/27 22:56, 5年前 , 33F
就推給隱函數那類定理嘛XD
09/27 22:56, 33F
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09/27 23:07, 5年前 , 34F
XD 我一開始也很想推給這類定理 不過李組長眉頭一皺
09/27 23:07, 34F
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09/27 23:08, 5年前 , 35F
發覺案情並不單純... XD
09/27 23:08, 35F
※ 編輯: coastq22889 (110.28.164.221 臺灣), 09/27/2020 23:10:11
還有 32 則推文
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09/28 00:39, 5年前 , 68F
：y=0.5cos(π(x+y)/2)在某個區間內可以寫成
09/28 00:39, 68F
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09/28 00:39, 5年前 , 69F
arccos(2y)=π(x+y)/2，也就是
09/28 00:39, 69F
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09/28 00:44, 5年前 , 70F
x=2/π*arccos(2y)-y 而這是解析函數，延拓他到
09/28 00:44, 70F
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09/28 00:45, 5年前 , 71F
複數域上，局部來說都可以得到解析反函數。
09/28 00:45, 71F
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09/28 00:46, 5年前 , 72F
所以 y=0.5cos(π(x+y)/2) 解析，那加上 x±1 也都
09/28 00:46, 72F
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09/28 00:46, 5年前 , 73F
解析了！
09/28 00:46, 73F
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09/28 00:48, 5年前 , 74F
要說明解析真的很難，複數延拓好像是最好用的了。
09/28 00:48, 74F
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09/28 00:48, 5年前 , 75F
現在應該還剩下 y=0.5cos(π(x+y)/2) 的極值點:p
09/28 00:48, 75F
推
09/28 00:49, 5年前 , 76F
冏 可是eq3得到的power series y=y(x)只能用在eq3上
09/28 00:49, 76F
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09/28 00:52, 5年前 , 77F
就算eq2的y'可以寫成x的power series y'(x) 他也不
09/28 00:52, 77F
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09/28 00:52, 5年前 , 78F
是eq3的y(x) 冏
09/28 00:52, 78F
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09/28 00:55, 5年前 , 79F
這就有點像考慮 y=(2y+x)+x-1 和 y=(2y+x)
09/28 00:55, 79F
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09/28 00:57, 5年前 , 80F
我舉得例子真爛 冏
09/28 00:57, 80F
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09/28 00:59, 5年前 , 81F
我想講得是 eq3得到y(x)不可能只是加x-1 就變成eq2
09/28 00:59, 81F
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09/28 00:59, 5年前 , 82F
的power series
09/28 00:59, 82F
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09/28 01:08, 5年前 , 83F
但是我也覺得eq1應該就是反例 不過畢竟沒有證明
09/28 01:08, 83F
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09/28 01:24, 5年前 , 84F
話說eq3根本不是eq1得到的函數再去減x+1 冏 這次終
09/28 01:24, 84F
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09/28 01:25, 5年前 , 85F
於有一個像樣的例子 y=y^2+x+1得到y=f(x) 但
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09/28 01:26, 5年前 , 86F
f(x)-(x+1) 不應該是y=y^2
09/28 01:26, 86F
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09/28 01:48, 5年前 , 87F
https://reurl.cc/7o70q5 直接用Implicit function
09/28 01:48, 87F
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09/28 01:48, 5年前 , 88F
theorem for several complex variables在eq1上就好
09/28 01:48, 88F
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09/28 01:49, 5年前 , 89F
了 冏 跟多複變不熟
09/28 01:49, 89F
推
09/28 02:14, 5年前 , 90F
問題是隱函數定理最後只能做出 C^∞ 啊。
09/28 02:14, 90F
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09/28 02:16, 5年前 , 91F
沒事，對。通常就是用這種。
09/28 02:16, 91F
推
09/28 10:12, 5年前 , 92F
F不要求連續有無窮多個UNCOUNTABLE反例，F^2(X)將1
09/28 10:12, 92F
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09/28 10:14, 5年前 , 93F
送到3，所以可以找到f(x)=x+1只定義在x=1或
09/28 10:14, 93F
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09/28 10:16, 5年前 , 94F
f(x)=x*sqrt(3/1)則f(f(x))=1*sqrt(3/1)*sqrt(3/1)
09/28 10:16, 94F
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09/28 10:17, 5年前 , 95F
f(x)在x=2可定義為f(x)=x+1或f(x)=x*sqrt(4/2)
09/28 10:17, 95F
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09/28 10:18, 5年前 , 96F
如此類推，在x=a處定f(x)=x+1或f(x)=x*sqrt(a+2/a)
09/28 10:18, 96F
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09/28 10:20, 5年前 , 97F
每一點至少兩組解共有2^R個可能R的個數為ALPHA NAUG
09/28 10:20, 97F
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09/28 10:21, 5年前 , 98F
HT1，這只是基本處處不連續狀況，所以必要條件才比
09/28 10:21, 98F
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09/28 10:22, 5年前 , 99F
較有討論性
09/28 10:22, 99F
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09/29 08:40, 5年前 , 100F
先看f(f(1))=f(√3) 按照你的定義接著不是乘√3 因
09/29 08:40, 100F
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09/29 08:40, 5年前 , 101F
為f(1)!=f(√3)=√3*√(√3+2/√3)!=3
09/29 08:40, 101F
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09/29 08:45, 5年前 , 102F
如果只是要uncountable多結果的結論 用我一開始的
09/29 08:45, 102F
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09/29 08:45, 5年前 , 103F
反射+平移的例子 或之前在用三角函數時 調整縮放的
09/29 08:45, 103F
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09/29 08:45, 5年前 , 104F
高度
09/29 08:45, 104F
推
09/29 09:49, 5年前 , 105F
HW大你誤會了，F(1)=1*3^0.5 F(3^0.5)=3^0.5*3^0.5
09/29 09:49, 105F
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09/29 09:52, 5年前 , 106F
喔喔不同點不一樣，恩這個有錯。就用反射+平移和X+1
09/29 09:52, 106F
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09/29 09:52, 5年前 , 107F
造出UNCOUNTABLE的非連續點點反例
09/29 09:52, 107F
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