[線代] LU分解唯一性

看板Math作者 (ㄅD)時間5年前 (2020/09/15 20:14), 5年前編輯推噓3(3推 0噓 36→)
留言39則, 3人參與, 5年前最新討論串1/1
看了這篇 ： https://ccjou.wordpress.com/2010/09/01/lu-%E5%88%86%E8%A7%A3/ 裡面唯一性那個部分假設U對角線皆非零，也就是A可逆，然後才有後面的推導 但是A不可逆的時候沒講（此時U不可逆，沒辦法做跟他類似的推導） 那不可逆的時候，LU分解就不唯一嗎？ ----- Sent from JPTT on my iPhone -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.98 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1600172076.A.774.html
推
09/15 20:36, 5年前 , 1F
The LU decomposition of a singular matrix will e
09/15 20:36, 1F
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09/15 20:36, 5年前 , 2F
ventually fail since no partial pivoting can res
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09/15 20:36, 5年前 , 3F
olve the fact that there will always be some zer
09/15 20:36, 3F
意思是LU分解定義上U對角線必須不等於0 但LDU分解沒有規定U的對角線嗎？
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09/15 20:36, 5年前 , 4F
o at the diagonal. Try consider LDU decompositio
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09/15 20:36, 5年前 , 5F
n instead.
09/15 20:36, 5F
※ 編輯: yagerbomb (140.112.25.98 臺灣), 09/15/2020 20:51:06
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09/15 20:53, 5年前 , 6F
09/15 20:53, 6F
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09/15 20:53, 5年前 , 7F
以此題為例，他的U對角項有0 ，我貼的網址他也是用L
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09/15 20:53, 5年前 , 8F
DU去證明，但他假設U對角項不是0
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推
09/15 20:54, 5年前 , 9F
我沒記錯的話LDU的時候L跟U的對角線都是1，然後允許
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09/15 20:54, 5年前 , 10F
D的對角線出現0， 所以你可以一眼就看出這個系統的
09/15 20:54, 10F
好像合理欸 我把U右下角那格放1 也不影響結果，但這樣變成他跟LU的U不是同一個U
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09/15 20:54, 5年前 , 11F
solvability
09/15 20:54, 11F
所以結論是LU分解必須對角線都非0 然後U出現0就要改LDV 故意把U原本是0的對角項塞成1？
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09/15 20:56, 5年前 , 12F
我查不太到對U的限制，好像網路上都沒怎麼討論
09/15 20:56, 12F
※ 編輯: yagerbomb (140.112.25.98 臺灣), 09/15/2020 20:58:19 ※ 編輯: yagerbomb (140.112.25.98 臺灣), 09/15/2020 20:59:37
推
09/15 21:09, 5年前 , 13F
應該說，一般來說無法保證LU的的唯一性，只能說在夠
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09/15 21:09, 5年前 , 14F
好的A（且 up to suitable partial pivoting）的時
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候，LU 基本上是唯一的（provided that L 或 U 的對
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角線都是 1）；而如果考慮 LDU 分解的話，基本上可
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09/15 21:09, 5年前 , 17F
以證明真的是唯一的，就無關這裡的 L 跟 U 跟 LDU
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分解裡面的 L 跟 U 一不一樣了
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而且要先確認 LU 是不是 feasible 的話，還需要額外
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的步驟，倒不如直接考慮 LDU 這樣
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09/15 21:39, 5年前 , 21F
第一點 LU分解並沒有要求U的對角線非零 也沒有說如
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09/15 21:40, 5年前 , 22F
果A是singular LU分解就會失敗
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09/15 21:41, 5年前 , 23F
LU分解對應到的矩陣處理是高斯消去法 所以你應該考
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09/15 21:43, 5年前 , 24F
慮的是高斯消去法何時可以在不換row的情況下做完
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09/15 21:44, 5年前 , 25F
這是有若且唯若的條件 不難查到
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第二點 你有LDU 就會有LU 因為DU就是上三角
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09/15 21:46, 5年前 , 27F
第三點 LDU在A是singular的時候 沒有唯一 見下圖
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09/15 21:46, 5年前 , 28F
09/15 21:46, 28F
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09/15 21:55, 5年前 , 29F
至於原PO的問題 A不可逆時 LU分解就不一定唯一 如下
09/15 21:55, 29F
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09/15 21:55, 5年前 , 30F
09/15 21:55, 30F
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09/15 22:06, 5年前 , 31F
另外證對於不可逆的A有唯一的LU分解(如果存在的話)
09/15 22:06, 31F
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09/15 22:07, 5年前 , 32F
根本不需要考慮LDU分解 假設A=L1*U1=L2*U2
09/15 22:07, 32F
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09/15 22:08, 5年前 , 33F
其中L1,L2主對角線都是1 則我們有
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09/15 22:10, 5年前 , 34F
L2^{-1}*L1=U2*U1^{-1} 其中左邊主對角線都是1且為
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09/15 22:11, 5年前 , 35F
下三角 而右邊為上三角 所以兩邊是單位矩陣
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09/15 22:24, 5年前 , 36F
第四點 LDU分解誠如c大所述 L和U的主對角線都要是1
09/15 22:24, 36F
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09/15 22:25, 5年前 , 37F
但單純看solvability LU就可以看了(直接看U的對角線
09/15 22:25, 37F
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09/15 22:26, 5年前 , 38F
有沒有0即可 沒有0 則det(L)=1 det(U)不為0)
09/15 22:26, 38F
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09/15 22:35, 5年前 , 39F
感謝！！懂了
09/15 22:35, 39F
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