[中學] 兩線交點軌跡的圖形

看板Math作者 (原來跑步這麼舒服)時間3年前 (2020/09/07 12:43), 編輯推噓4(4推 0噓 13→)
留言17則, 3人參與, 3年前最新討論串1/1
坐標平面上有兩直線 L: y=ax+a+2 M:y=bx-3b 已知兩直線互相垂直，當實數a,b取不同值時，直線L，M的交點P也會隨之改變 並落在圖形N上 試證明，圖形N是圓的一部分 我解出交點的x座標為 (3-2a-a^2)/(1+a^2) y座標為 (4a+2)/(1+a^2) 然後就進行不下去了… 用desmos畫圖出來，感覺得到一部分是圓，應該是沒錯… 但是證不出來… 還請大大幫忙！謝謝。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 1.165.173.72 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1599453796.A.F52.html
推
09/07 12:51, 3年前 , 1F
把原式寫成y-2=a(x+1),y-0=(-1/a)(x-3)
09/07 12:51, 1F
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09/07 12:52, 3年前 , 2F
圓心是不是呼之欲出了
09/07 12:52, 2F
推
09/07 12:54, 3年前 , 3F
咦，好像不太對，我想清楚點再回覆
09/07 12:54, 3F
推
09/07 12:57, 3年前 , 4F
應該是以(-1,2)(3,0)為直徑的圓
09/07 12:57, 4F
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09/07 12:58, 3年前 , 5F
因為直徑對應的圓周角是直角
09/07 12:58, 5F
推
09/07 13:37, 3年前 , 6F
r大的解法很漂亮
09/07 13:37, 6F
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09/07 13:38, 3年前 , 7F
這裡我順著原po的想法繼續 令(x_sol,y_sol)為原po解
09/07 13:38, 7F
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09/07 13:39, 3年前 , 8F
出來的解 則我們想要找到c,d使得對所有a 滿足
09/07 13:39, 8F
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09/07 13:41, 3年前 , 9F
(x_sol-c)^2+(y_sol-d)^2是常數 展開並化簡一下得
09/07 13:41, 9F
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09/07 13:45, 3年前 , 10F
(c^2+d^2+2c+1)a^2+(4c-8d+4)a+(c^2+d^2-6c-4d+13)
09/07 13:45, 10F
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09/07 13:46, 3年前 , 11F
要是a^2+1的常數倍(對於所有a) 所以二次項係數=常數
09/07 13:46, 11F
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09/07 13:47, 3年前 , 12F
項係數 一次項係數=0 解得 c=1 d=1
09/07 13:47, 12F
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09/07 13:48, 3年前 , 13F
代回去(x_sol-1)^2+(y_sol-1)^2=5 就用代數的方法證
09/07 13:48, 13F
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09/07 13:48, 3年前 , 14F
完了
09/07 13:48, 14F
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09/07 14:06, 3年前 , 15F
下面是用來硬算的程式 (使用SageMath)
09/07 14:06, 15F
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09/07 14:06, 3年前 , 16F
09/07 14:06, 16F
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09/08 00:17, 3年前 , 17F
謝謝樓上大大！感謝
09/08 00:17, 17F
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