[線代] Jordan form 理解

看板Math作者 (西木野真姬)時間5年前 (2020/09/04 01:34), 5年前編輯推噓19(19推 0噓 140→)
留言159則, 2人參與, 5年前最新討論串1/1
想問一下我對 Jordan form 的理解正不正確 在 nilpotent 算子情況下，空間可以拆解成循環子空間的直和，矩陣表示法就會形成類似對角化的Jordan form (對角線上是下移矩陣的block) 但在非 nilpotent 算子的情況下 沒辦法套用此定理，因此把空間平移 eigenvalue 的量，並把定義域縮小到最大冪零區，就可以得到很多個 nilpotent 算子 所以最後空間會被拆成 generalized eigenspace 的直和，而 每個 generalized eigenspace 因為是 nilpotent 可以拆成循環子空間的直和 所以是直和再直和的意思 最後 Jordan form才會出現要切兩次的情況 抱歉表達有點亂，這邊有點搞不太清楚 ----- Sent from JPTT on my iPhone -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 39.8.35.245 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1599154440.A.A62.html
推
09/04 06:34, 5年前 , 1F
不管任何算子 空間皆可以拆解成循環子空間的直和
09/04 06:34, 1F
→
09/04 06:34, 5年前 , 2F
並在適當的選取基底下 其矩陣表示是rational canon
09/04 06:34, 2F
→
09/04 06:34, 5年前 , 3F
ical form
09/04 06:34, 3F
推
09/04 06:58, 5年前 , 4F
(更準確地說 是該算子限定在每一個summand時 其特徵
09/04 06:58, 4F
→
09/04 06:58, 5年前 , 5F
多項式是不可約多項式的次方時 則我們有rational ca
09/04 06:58, 5F
→
09/04 06:58, 5年前 , 6F
nonical form)
09/04 06:58, 6F
推
09/04 07:05, 5年前 , 7F
而jordan form存在的充要條件是該算子的特徵多項式
09/04 07:05, 7F
→
09/04 07:05, 5年前 , 8F
在目前的係數域中可以寫成一次項的相乘 在此情況下
09/04 07:05, 8F
→
09/04 07:05, 5年前 , 9F
我們可以重新選取"上述循環子空間的每個summand"
09/04 07:05, 9F
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09/04 07:05, 5年前 , 10F
的基底 使該算子的矩陣表示就是jordan form
09/04 07:05, 10F
推
09/04 07:10, 5年前 , 11F
而nilpotent算子的特徵多項式是λ^n 所以總是有
09/04 07:10, 11F
→
09/04 07:10, 5年前 , 12F
Jordan form
09/04 07:10, 12F
推
09/04 07:16, 5年前 , 13F
"在 nilpotent 算子情況下..." 這段 空間總是可以拆
09/04 07:16, 13F
→
09/04 07:17, 5年前 , 14F
成循環子空間的直和 不管算子是否為nilpotent
09/04 07:17, 14F
推
09/04 07:20, 5年前 , 15F
"但在非 nilpotent 算子的情況下..."這段 不知道你
09/04 07:20, 15F
→
09/04 07:20, 5年前 , 16F
所講的定理是什麼 冏
09/04 07:20, 16F
推
09/04 07:24, 5年前 , 17F
文章自此之後都依賴於"這一段" 所以我其實都看太懂
09/04 07:24, 17F
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09/04 07:27, 5年前 , 18F
看不太懂 或許你直接算個例子 並從例子中闡釋你的想
09/04 07:27, 18F
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09/04 07:28, 5年前 , 19F
法 這樣比較能讓人明白你的問題點在哪
09/04 07:28, 19F
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09/04 11:21, 5年前 , 20F
這樣說起來好像我從頭到尾都理解錯...我先整理一下
09/04 11:21, 20F
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09/04 11:21, 5年前 , 21F
我的問題 晚點回覆
09/04 11:21, 21F
推
09/04 11:38, 5年前 , 22F
沒留意到冪零算子的rational form和Jordan from是一
09/04 11:38, 22F
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09/04 11:39, 5年前 , 23F
樣的 所以我大概可以理解你原本想說什麼了(?)
09/04 11:39, 23F
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09/04 11:41, 5年前 , 24F
讓T:V→V 先考慮最簡單的情況 假設T的特徵多項式可
09/04 11:41, 24F
→
09/04 11:44, 5年前 , 25F
以分解成一次式相乘 設V=C(v1)⊕C(v2)⊕...⊕C(vn)
09/04 11:44, 25F
→
09/04 11:46, 5年前 , 26F
其中C(vi)為由vi所生成的循環子空間且T_C(vi)的特徵
09/04 11:46, 26F
→
09/04 11:48, 5年前 , 27F
多項式為(t-λi)^ni 則有兩個cases
09/04 11:48, 27F
→
09/04 11:51, 5年前 , 28F
Case 1. 若T為nilpontent 則由{vi,T(vi),T^2(vi)..}
09/04 11:51, 28F
→
09/04 11:52, 5年前 , 29F
所生的basis剛好可以拿來當Jordan form的basis
09/04 11:52, 29F
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09/04 11:53, 5年前 , 30F
Case 2.若T不為nilpotent 則由{vi,T(vi),T^2(vi)..}
09/04 11:53, 30F
→
09/04 11:55, 5年前 , 31F
只能拿來當rational form的basis 不能拿來當Jordan
09/04 11:55, 31F
→
09/04 11:58, 5年前 , 32F
form的basis 你必須選一個u滿足(T-λi)^{ni-1}u非0
09/04 11:58, 32F
→
09/04 12:00, 5年前 , 33F
再用{u,(T-λi)(u),(T-λi)^2(u),...}來當Jordan
09/04 12:00, 33F
→
09/04 12:02, 5年前 , 34F
form的basis 但即使在這個情況下 C(vi)只對應到一個
09/04 12:02, 34F
→
09/04 12:03, 5年前 , 35F
完整的Jordan block 不會分裂成兩個以上Jordan
09/04 12:03, 35F
→
09/04 12:04, 5年前 , 36F
block 沒有所謂"直和再直和"的情形發生
09/04 12:04, 36F
推
09/04 12:09, 5年前 , 37F
接著考慮更複雜的情況 讓F為一個field M為一個nxn的
09/04 12:09, 37F
→
09/04 12:10, 5年前 , 38F
矩陣 使得M的特徵多項式無法在F中分解成一次式相乘
09/04 12:10, 38F
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09/04 12:11, 5年前 , 39F
設F^n=C(v1)⊕C(v2)⊕...⊕C(vn) 其中C(vi)為由vi所
09/04 12:11, 39F
還有 82 則推文
還有 6 段內文
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09/04 17:51, 5年前 , 122F
eigenspaces decompostion最重要的定理 但你通篇只
09/04 17:51, 122F
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09/04 17:52, 5年前 , 123F
有第11點有稍稍提到一下 而且你似乎沒打算要證 冏
09/04 17:52, 123F
QQ 因為不是for 數學系的線代 老師說幾個定理不證 只知道結果就好 ※ 編輯: NTUmaki (27.247.233.249 臺灣), 09/04/2020 19:34:58 ※ 編輯: NTUmaki (27.247.233.249 臺灣), 09/04/2020 19:36:04 ※ 編輯: NTUmaki (27.247.233.249 臺灣), 09/04/2020 19:37:11 ※ 編輯: NTUmaki (27.247.233.249 臺灣), 09/04/2020 19:37:56 ※ 編輯: NTUmaki (27.247.233.249 臺灣), 09/04/2020 19:38:40 ※ 編輯: NTUmaki (27.247.233.249 臺灣), 09/04/2020 19:40:37
→
09/04 19:41, 5年前 , 124F
總之可以理解成 nilpotent 是 最後定理的其中一個ca
09/04 19:41, 124F
→
09/04 19:41, 5年前 , 125F
se （最後出來的 jordan form 比較不用切那麼多塊）
09/04 19:41, 125F
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09/04 19:41, 5年前 , 126F
這樣吧！？ 有些核心定理沒證...我只想大致理解他
09/04 19:41, 126F
→
09/04 19:41, 5年前 , 127F
的概念
09/04 19:41, 127F
※ 編輯: NTUmaki (27.247.233.249 臺灣), 09/04/2020 19:42:32
推
09/04 21:34, 5年前 , 128F
[17:15]如果heig是這個意義 那就很有問題了 冏 一般
09/04 21:34, 128F
→
09/04 21:35, 5年前 , 129F
來說是找最小的k滿足{v,T(v),T^2(v),...,T^k(v)}是
09/04 21:35, 129F
→
09/04 21:35, 5年前 , 130F
線性相依的 而不是T^k(v)為0的
09/04 21:35, 130F
→
09/04 21:36, 5年前 , 131F
[17:22]nilpotent是不用切第一次 但你還是得切成
09/04 21:36, 131F
→
09/04 21:36, 5年前 , 132F
cyclic subspaces
09/04 21:36, 132F
→
09/04 21:37, 5年前 , 133F
[17:26]老實說 你其實表達的很模糊 我只能說我可以
09/04 21:37, 133F
→
09/04 21:37, 5年前 , 134F
很輕易的把第8第9點解釋成正確的東西 但完全不能斷
09/04 21:37, 134F
→
09/04 21:37, 5年前 , 135F
定我的想法和你心中的認知是否一致 冏 因為是你想搞
09/04 21:37, 135F
→
09/04 21:38, 5年前 , 136F
懂的 所以你應該想辦法給出更清晰的說法
09/04 21:38, 136F
→
09/04 21:39, 5年前 , 137F
並且同[17:51]和[17:52]
09/04 21:39, 137F
→
09/04 21:40, 5年前 , 138F
V=Ker((T-λ1)^n1)⊕...⊕Ker((T-λk)^nk之所以為核
09/04 21:40, 138F
→
09/04 21:41, 5年前 , 139F
心定理 是因為一旦理解之後 其他性質就很容易入手
09/04 21:41, 139F
→
09/04 21:41, 5年前 , 140F
你可以不用證明這個定理 但是最好是去理解這個定理
09/04 21:41, 140F
→
09/04 21:41, 5年前 , 141F
(這個定理其實也只是Cayley–Hamilton的進一步推廣
09/04 21:41, 141F
→
09/04 21:42, 5年前 , 142F
而已)
09/04 21:42, 142F
→
09/04 21:42, 5年前 , 143F
17:51]這個不是什麼等價條件 是當over C時 我們一定
09/04 21:42, 143F
→
09/04 21:43, 5年前 , 144F
有這個分解
09/04 21:43, 144F
→
09/04 21:44, 5年前 , 145F
[19:41]這樣想是沒問題的
09/04 21:44, 145F
→
09/04 21:45, 5年前 , 146F
現在比較冏的事是我其實是用更簡單的理論(modules
09/04 21:45, 146F
→
09/04 21:45, 5年前 , 147F
over PID)去想rational form和Jordan form的 所以很
09/04 21:45, 147F
→
09/04 21:45, 5年前 , 148F
多事情是相當trivial的 但為了理解這個更簡單的理論
09/04 21:45, 148F
→
09/04 21:45, 5年前 , 149F
你反而需要更多先備知識
09/04 21:45, 149F
→
09/04 21:46, 5年前 , 150F
如果要把這個理論簡化成對一般線代學習者可以理解的
09/04 21:46, 150F
→
09/04 21:46, 5年前 , 151F
那V=Ker((T-λ1)^n1)⊕...⊕Ker((T-λk)^nk)就會是
09/04 21:46, 151F
→
09/04 21:46, 5年前 , 152F
核心知識 所以才會希望你可以正視這個東西
09/04 21:46, 152F
→
09/04 21:47, 5年前 , 153F
當然如果你只是單純想算jordan form 那就不用理解這
09/04 21:47, 153F
→
09/04 21:47, 5年前 , 154F
些東西
09/04 21:47, 154F
→
09/05 12:36, 5年前 , 155F
了解...其實發現最後算的時候也不知道在幹嘛 因為核
09/05 12:36, 155F
→
09/05 12:36, 5年前 , 156F
心定理沒證@@ 感謝回答
09/05 12:36, 156F
推
09/05 18:47, 5年前 , 157F
其實單純只是會算Jordan form還是滿有用處的 他常應
09/05 18:47, 157F
→
09/05 18:48, 5年前 , 158F
用在矩陣次方的計算上 比方說要算exp(A)或cos(A)之
09/05 18:48, 158F
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09/05 18:49, 5年前 , 159F
類 計算這類東西不懂整個理論是完全OK的
09/05 18:49, 159F
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