[幾何] 正五邊型,求角度

看板Math作者 (高能兒)時間3年前 (2020/09/02 19:13), 編輯推噓18(18推 0噓 53→)
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https://reurl.cc/gmz52b 圖中的五邊形是正五邊形 求問號處的角度 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.227.214.129 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1599045191.A.F4E.html
推
09/03 09:06, 3年前 , 1F
用正弦定理硬算的結果是18°
09/03 09:06, 1F
→
09/03 09:32, 3年前 , 2F
沒答案 題目應該有其他描述
09/03 09:32, 2F
推
09/03 09:48, 3年前 , 3F
??? 條件是充足的呀 還是我錯誤理解題目了 是否可以
09/03 09:48, 3F
→
09/03 09:50, 3年前 , 4F
麻煩A大提供兩個以上例子的造法 不好意思打擾你了
09/03 09:50, 4F
→
09/03 09:50, 3年前 , 5F
謝謝
09/03 09:50, 5F
推
09/03 10:19, 3年前 , 6F
還是可以看看我下列的想法哪裡有誤 不好意思
09/03 10:19, 6F
→
09/03 10:19, 3年前 , 7F
不失一般性 令正五邊形邊長為1
09/03 10:19, 7F
→
09/03 10:19, 3年前 , 8F
令正五邊形的頂點從最上面一個開始 逆時鐘依序為A,B
09/03 10:19, 8F
→
09/03 10:20, 3年前 , 9F
C,D,E 令圖中直角三角形垂足頂點為F, 剩下一角頂點
09/03 10:20, 9F
→
09/03 10:20, 3年前 , 10F
為G
09/03 10:20, 10F
→
09/03 10:21, 3年前 , 11F
令θ=∠BAF, δ=∠GED, x=BF, z=CG
09/03 10:21, 11F
→
09/03 10:21, 3年前 , 12F
在ΔABF,ΔCGF,ΔGDE上使用正弦定理 則我們有
09/03 10:21, 12F
→
09/03 10:22, 3年前 , 13F
x=sinθ/sin(72°-θ) ......(1)
09/03 10:22, 13F
→
09/03 10:23, 3年前 , 14F
tan(36°)=FG/AF=(1-x)sinθ/(x sin(54°-θ)) (2)
09/03 10:23, 14F
→
09/03 10:23, 3年前 , 15F
z = (1-x)sin(18°+θ)/sin(54°-θ) ......(3)
09/03 10:23, 15F
→
09/03 10:24, 3年前 , 16F
sin(δ)/sin(72°-δ)=1-z ......(4)
09/03 10:24, 16F
→
09/03 10:24, 3年前 , 17F
四條式子解四個變數 其中θ,δ落在(0.π/2)
09/03 10:24, 17F
推
09/03 10:45, 3年前 , 18F
令α=18°+θ 則由(1)和(2) 我們有
09/03 10:45, 18F
→
09/03 10:46, 3年前 , 19F
tan(θ)=(tan(36°)sin(54°)-2cos(36°)sin(36°))
09/03 10:46, 19F
→
09/03 10:47, 3年前 , 20F
/(tan(36°)cos(54°)-2cos^2(36°))
09/03 10:47, 20F
→
09/03 10:47, 3年前 , 21F
tan(α)=(tan(36°)sin(72°)-2cos(36°)sin(54°))
09/03 10:47, 21F
→
09/03 10:48, 3年前 , 22F
/(tan(36°)cos(72°)-2cos(36°)cos(54°))
09/03 10:48, 22F
→
09/03 10:48, 3年前 , 23F
並且進一步由(3)和(4)可推得
09/03 10:48, 23F
→
09/03 10:49, 3年前 , 24F
sin(δ)/sin(72°-δ)=1-tan(α)tan(36°)
09/03 10:49, 24F
→
09/03 10:49, 3年前 , 25F
令r := 1-tan(α)tan(36°) 則
09/03 10:49, 25F
→
09/03 10:50, 3年前 , 26F
tan(δ)=r*sin(72°)/(1+r*cos(72°)) 即可求δ
09/03 10:50, 26F
推
09/03 11:18, 3年前 , 27F
阿 是我想錯了 本以為題目的條件可以畫出其他圖
09/03 11:18, 27F
推
09/03 11:47, 3年前 , 28F
XD 我原本也是這麼想的 那有沒有一個非計算的證明?
09/03 11:47, 28F
→
09/03 16:20, 3年前 , 29F
如果樓上答案沒錯的話，那塊看起來像長方形的真的就
09/03 16:20, 29F
→
09/03 16:20, 3年前 , 30F
是長方形，四個角都是直角
09/03 16:20, 30F
→
09/03 16:21, 3年前 , 31F
從這裡反推回去再證明是唯一解就好
09/03 16:21, 31F
→
09/03 16:25, 3年前 , 32F
如果這是紙筆競賽題，可以猜測答案必須很漂亮，所以
09/03 16:25, 32F
→
09/03 16:26, 3年前 , 33F
常比賽的人可能就會直接猜長方形
09/03 16:26, 33F
→
09/03 16:29, 3年前 , 34F
（所以我很討厭那些數學競賽，因為有這種走火入魔的
09/03 16:29, 34F
→
09/03 16:29, 3年前 , 35F
題目存在）
09/03 16:29, 35F
推
09/03 18:30, 3年前 , 36F
你可以用SageMath驗証tan(δ)=tan(18°) 如下
09/03 18:30, 36F
→
09/03 18:30, 3年前 , 37F
09/03 18:30, 37F
→
09/03 18:32, 3年前 , 38F
用我上述的符號 AFGE只有共圓 並非長方形 否則θ必
09/03 18:32, 38F
→
09/03 18:34, 3年前 , 39F
須為18° 但tan(θ)=0.41188805392...
09/03 18:34, 39F
推
09/03 18:48, 3年前 , 40F
我一開始就有在猜測θ=18°但很就推翻這個想法了
09/03 18:48, 40F
推
09/03 18:50, 3年前 , 41F
另外SageMath是symbolic computation的 它算出來是0
09/03 18:50, 41F
→
09/03 18:51, 3年前 , 42F
就真的是0 而不是數值計算上接近0而已
09/03 18:51, 42F
推
09/03 22:49, 3年前 , 43F
請問hwanger大大 您的第(2)式怎麼看出來的
09/03 22:49, 43F
推
09/03 22:54, 3年前 , 44F
其他數字都很漂亮 x= 0.5,z=(sqrt(5)-1)/2 就θ很醜
09/03 22:54, 44F
→
09/03 22:55, 3年前 , 45F
tan(θ)=sqrt(25-2*sqrt(5))/11
09/03 22:55, 45F
→
09/03 22:58, 3年前 , 46F
F是BC中點 CG長度是黃金比例倒數
09/03 22:58, 46F
→
09/03 23:08, 3年前 , 47F
(2)式應該是FG和AF在各自三角形對角都是108度
09/03 23:08, 47F
→
09/03 23:08, 3年前 , 48F
所以取正弦之後約掉了
09/03 23:08, 48F
推
09/03 23:11, 3年前 , 49F
(2)分成兩部份 tan(36°)=FG/AF就是按照直角三角形
09/03 23:11, 49F
→
09/03 23:14, 3年前 , 50F
在ΔABF使用正弦定理 AF/sin(108°)=x/sin(θ)...(a
09/03 23:14, 50F
→
09/03 23:19, 3年前 , 51F
而在ΔFCG中 ∠FGC=72°-∠CFG=72°-(90°-∠BFA)=
09/03 23:19, 51F
→
09/03 23:22, 3年前 , 52F
-18°+∠BFA =-18°+(72°-θ)=54°-θ
09/03 23:22, 52F
→
09/03 23:25, 3年前 , 53F
由正弦定理得FG/sin(108°)=(1-x)/sin(54°-θ)..(b
09/03 23:25, 53F
→
09/03 23:26, 3年前 , 54F
(b 除以 (a 即得第(2)式
09/03 23:26, 54F
推
09/03 23:35, 3年前 , 55F
XD 沒注意到e大幫我回答了 謝謝
09/03 23:35, 55F
推
09/04 10:47, 3年前 , 56F
感謝e大將x算出來 終於找到一個純幾何的證明了
09/04 10:47, 56F
→
09/04 10:49, 3年前 , 57F
為了證明的完整性 下列將重覆符號的定義
09/04 10:49, 57F
→
09/04 10:49, 3年前 , 58F
令正五邊形的頂點從最上面一個開始 逆時鐘依序為A,B
09/04 10:49, 58F
→
09/04 10:50, 3年前 , 59F
C,D,E
09/04 10:50, 59F
→
09/04 10:51, 3年前 , 60F
令圖中直角三角形垂足頂點為F 剩下一角頂點為G
09/04 10:51, 60F
→
09/04 10:53, 3年前 , 61F
令AG中點為H 延伸CH交AE於P
09/04 10:53, 61F
推
09/04 10:57, 3年前 , 62F
因為∠FHG+∠FCG=180° 所以FCGH四點共圓
09/04 10:57, 62F
→
09/04 11:02, 3年前 , 63F
故∠HCF=∠FGH=54° 推得CP為∠BCD的角平分線
09/04 11:02, 63F
→
09/04 11:03, 3年前 , 64F
所以P為AE中點且CP垂直AE 進一步考慮ΔAGE
09/04 11:03, 64F
→
09/04 11:05, 3年前 , 65F
因為AH/AG=1/2=AP/AE 所以PH//EG 得∠AEG=90°
09/04 11:05, 65F
推
09/04 11:07, 3年前 , 66F
所以得到∠GED=18° 證畢
09/04 11:07, 66F
推
09/07 09:57, 3年前 , 67F
做一個外接圓 中間那條線就是直徑 這樣就知道所求
09/07 09:57, 67F
→
09/07 09:57, 3年前 , 68F
角旁那個角也90度 所以所求108-90=18(度)
09/07 09:57, 68F
推
09/07 23:44, 3年前 , 69F
??? 不好意思 想問一下O大 是如何看出四點共圓的
09/07 23:44, 69F
→
09/07 23:44, 3年前 , 70F
我這邊卡住了 抱歉
09/07 23:44, 70F
→
09/09 23:07, 3年前 , 71F
嗯，要先證明四點共圓沒錯
09/09 23:07, 71F
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