[線代] Hermitian 等價定義

看板Math作者 (西木野真姬)時間5年前 (2020/08/25 13:45), 5年前編輯推噓3(3推 0噓 39→)
留言42則, 3人參與, 5年前最新討論串1/1
對一些數學語言不太熟，想問一下對這個定理的理解有沒有錯誤 A屬於n*n複矩陣， A*=A iff x*Ax屬於實數 for all x 屬於複數vector 我的理解： 1. 後面那個敘述要for all x 屬於複vector 所以實數下不成立（因為連複數的也必須對） 2. A只說屬於複矩陣，所以其實也可以取實矩陣 變成 A^T=A iff x*Ax屬於實數 for all x 屬於複數vector 3. 順便問一下，因為positive definite 一定滿足 x*Ax 屬於實數，所以一定是hermitian，因此我可以用這個當判斷，如果矩陣不是hermitian 他一定不會是positive definite 想問這樣對不對 ？ ----- Sent from JPTT on my iPhone -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 110.30.184.103 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1598334348.A.277.html ※ 編輯: NTUmaki (110.30.184.103 臺灣), 08/25/2020 13:53:44 ※ 編輯: NTUmaki (110.30.184.103 臺灣), 08/25/2020 13:54:07 ※ 編輯: NTUmaki (110.30.184.103 臺灣), 08/25/2020 13:55:04
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08/25 14:04, 5年前 , 1F
1.往左的箭頭不成立 2.對 3.對（除非是狹義的正定）
08/25 14:04, 1F
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08/25 14:05, 5年前 , 2F
喔不，2你的左箭頭不對
08/25 14:05, 2F
意思是可能右邊會推出hermitian 但不symmetric 所以我不能取實矩陣 是嗎？
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08/25 14:08, 5年前 , 3F
再修正，是我誤會了，你的2沒錯
08/25 14:08, 3F
哦哦哦哦好 ※ 編輯: NTUmaki (110.30.184.103 臺灣), 08/25/2020 14:09:19 ※ 編輯: NTUmaki (110.30.184.103 臺灣), 08/25/2020 14:09:39
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08/25 14:10, 5年前 , 4F
實際上正定的一般定義裡面就包含A要是symmetric或
08/25 14:10, 4F
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08/25 14:11, 5年前 , 5F
Hermitian了，只是在複數情況下那個正定定義就能推
08/25 14:11, 5F
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08/25 14:12, 5年前 , 6F
出必須Hermitian，但在實數下若只有xTAx這條件會推
08/25 14:12, 6F
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08/25 14:12, 5年前 , 7F
不出必須要是symmetric
08/25 14:12, 7F
為何！！？
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08/25 14:13, 5年前 , 8F
我這邊說的正定定義是指x*Ax>0
08/25 14:13, 8F
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08/25 14:15, 5年前 , 9F
那請問這兩句話對不對：A屬於複矩陣，則正定一定her
08/25 14:15, 9F
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08/25 14:15, 5年前 , 10F
mitian ；A屬於實矩陣，則正定一定Symmetric
08/25 14:15, 10F
※ 編輯: NTUmaki (110.30.184.103 臺灣), 08/25/2020 14:16:33
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08/25 14:16, 5年前 , 11F
前一句一定對，但後一句要看定義
08/25 14:16, 11F
請問是哪一個的定義
推
08/25 14:18, 5年前 , 12F
例如A是旋轉九十度，x'Ax就一定是0。
08/25 14:18, 12F
※ 編輯: NTUmaki (110.30.184.103 臺灣), 08/25/2020 14:19:49
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08/25 14:20, 5年前 , 13F
看實數矩陣的正定的定義裡面有沒有對稱這個前提
08/25 14:20, 13F
喔！所以有一些實矩陣的正定會要求對稱，有些不用
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08/25 14:21, 5年前 , 14F
舉例來說{{1,1},{-1,1}}這個矩陣也符合xTAx>0
08/25 14:21, 14F
※ 編輯: NTUmaki (110.30.184.103 臺灣), 08/25/2020 14:21:27
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08/25 14:21, 5年前 , 15F
不過我們當然會有補救的方法，也就是二次式的修正
08/25 14:21, 15F
就是正定一律把他取成對稱的嗎 ※ 編輯: NTUmaki (110.30.184.103 臺灣), 08/25/2020 14:22:43
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08/25 14:23, 5年前 , 16F
我們可以把那個非對稱矩陣換成具有相同值的對稱矩陣
08/25 14:23, 16F
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08/25 14:23, 5年前 , 17F
這樣我們對Hermitian矩陣的結論就都可套用了
08/25 14:23, 17F
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08/25 14:24, 5年前 , 18F
具體來說，前面那個例子跟{{1,1/2},{1/2,1}}的二次
08/25 14:24, 18F
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08/25 14:24, 5年前 , 19F
式是一樣的，所以我們只要對後者進行正定判定就知道
08/25 14:24, 19F
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08/25 14:24, 5年前 , 20F
它是不是正定
08/25 14:24, 20F
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08/25 14:26, 5年前 , 21F
你複習到二次式（就是xTAx）的時候應該會再看到
08/25 14:26, 21F
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08/25 14:26, 5年前 , 22F
好神奇@@
08/25 14:26, 22F
推
08/25 14:27, 5年前 , 23F
他的對稱部應該是I吧。
08/25 14:27, 23F
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08/25 14:28, 5年前 , 24F
喔對，我沒仔細想清楚
08/25 14:28, 24F
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08/25 14:31, 5年前 , 25F
我知道不用對稱的例子存在了 但我邏輯上不太懂為什
08/25 14:31, 25F
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08/25 14:31, 5年前 , 26F
麼不用， A屬於複矩陣則A正定一定hermitian ；但是
08/25 14:31, 26F
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08/25 14:31, 5年前 , 27F
當A屬於實矩陣的時候 他一定也屬於複矩陣，這樣A正
08/25 14:31, 27F
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08/25 14:31, 5年前 , 28F
定一定hermitian ，此處hermitian 不就剛好是對稱嗎
08/25 14:31, 28F
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08/25 14:31, 5年前 , 29F
？還是說講實矩陣的時候 不能提到hermitian
08/25 14:31, 29F
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08/25 14:32, 5年前 , 30F
主要原因是xTAx裡面的x是屬於實數，這導致可以不對
08/25 14:32, 30F
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08/25 14:32, 5年前 , 31F
稱
08/25 14:32, 31F
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08/25 14:33, 5年前 , 32F
而當然如果是寫x*Ax，並且x屬於複數的話，那就可以
08/25 14:33, 32F
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08/25 14:33, 5年前 , 33F
直接套用Hernitian的結論了
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08/25 14:34, 5年前 , 34F
哦哦！所以一般會讓A跟x的定義域一致嗎
08/25 14:34, 34F
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08/25 14:34, 5年前 , 35F
你可以想像就是後者要求比較多
08/25 14:34, 35F
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08/25 14:35, 5年前 , 36F
出題的話通常會寫清楚，沒寫你也只能揣摩上意
08/25 14:35, 36F
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08/25 14:43, 5年前 , 37F
這邊一下定在複數 一下定在實數 好混亂==
08/25 14:43, 37F
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08/25 14:49, 5年前 , 38F
總之如果A屬於實矩陣，然後我的正定是定義for all x
08/25 14:49, 38F
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08/25 14:49, 5年前 , 39F
屬於‘複vector’那我就可以說 正定一定對稱？
08/25 14:49, 39F
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08/25 14:50, 5年前 , 40F
可以
08/25 14:50, 40F
推
08/25 16:30, 5年前 , 41F
不會「突然」變混亂。因為係數的範圍可以有多大這事
08/25 16:30, 41F
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08/25 16:31, 5年前 , 42F
是一開始就要講明白的。
08/25 16:31, 42F
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