[中學] 繞圈問題

看板Math作者 (PS)時間3年前 (2020/08/21 16:57), 編輯推噓5(5推 0噓 22→)
留言27則, 2人參與, 3年前最新討論串1/1
［手機排版，若有違規或不妥請告知］ 一題有點古老的題目，但很偶然的看到另一種想法，一個觀念一時轉不過來故上站尋求高 手指點。 題目： 甲乙兩人在圓形跑道上從同一點A分別以每秒7公尺、8公尺的速度同時相向而行，直到兩 人同時回到A點才停止，則兩人在中途相遇幾次？ 自解： 乙一圈=甲7/8圈，即乙每圈比甲多1/8圈，也就是第8圈會在起點相遇，中途相遇的圈數為 7圈，每圈相遇兩次，所以中途相遇14次。 偶然看到的想法： 設甲乙兩人x秒相遇一次，所以跑道長15x 令兩人相遇y次，則甲走7xy，乙走8xy ∵快的比慢的必多走一圈 ∴ 8xy-7xy=15x 則y=15，最後一次不算中途，∴14次。 我覺得上面的想法很有趣，但對於其中「快的比慢的必多走一圈」的概念轉不過來，不知 道板上高手們是否能提點一下？懇請指點迷津，謝謝各位。 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 36.231.65.238 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1598000238.A.32F.html
推
08/21 17:42, 3年前 , 1F
剛好可以算而已? 如果甲乙速度比5:8會怎樣?
08/21 17:42, 1F
推
08/21 18:05, 3年前 , 2F
還沒仔細check 不過甲乙速度比m:n m,n正整數且gcd=1
08/21 18:05, 2F
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08/21 18:05, 3年前 , 3F
則第一次在原點相遇 走的圈數差應該是|m-n|
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08/21 18:41, 3年前 , 4F
我也認為可能是剛好這題快的比慢的多跑一圈，主要是
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08/21 18:41, 3年前 , 5F
想確定如果速度比變為其他值，類似11:17，會不會就
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08/21 18:41, 3年前 , 6F
是變成差6圈？
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08/21 18:43, 3年前 , 7F
事實上我對於「兩人相遇y次」的這個假設感覺特別妙
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08/21 18:44, 3年前 , 8F
，類似天外飛來一筆的想法，所以覺得這個解法蠻有
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08/21 18:44, 3年前 , 9F
趣的。
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推
08/21 20:10, 3年前 , 10F
XDD 我來證明一下我二樓的claim好了
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08/21 20:11, 3年前 , 11F
假設跑道長s 兩人在起點相遇時 甲跑了k圈 乙跑了h圈
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08/21 20:12, 3年前 , 12F
因為跑的時間相同 所以跑的距離正比於跑的速度 可得
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08/21 20:14, 3年前 , 13F
ks:hs=m:n 化簡得到kn=mh 因為gcd(m,n)=1 所以m|h且
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08/21 20:16, 3年前 , 14F
打錯 m|k 且 n|h
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08/21 20:18, 3年前 , 15F
而滿足ks:hs=m:n, m|k, n|h最小的k,h分別是m,n
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08/21 20:20, 3年前 , 16F
所以第一次在起點相遇 走的圈數差是 |m-n|
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推
08/21 20:33, 3年前 , 17F
我之所以會一開始會有二樓的claim 是因為如果兩人速
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08/21 20:35, 3年前 , 18F
度比是無理數的話 則兩人不可能在起點相遇
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08/21 20:37, 3年前 , 19F
現在才發現s大就是原po XDDD 所以你有去算我一樓的
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08/21 20:37, 3年前 , 20F
例子嗎? 冏
08/21 20:37, 20F
推
08/21 21:00, 3年前 , 21F
應該說s大其實也可以算自己的11:17的例子呀 XDDD
08/21 21:00, 21F
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08/21 21:01, 3年前 , 22F
因為原po自己本來就有一個算法呀 其實算一下就會得
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08/21 21:02, 3年前 , 23F
到類似的結果 XDDD
08/21 21:02, 23F
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08/21 23:12, 3年前 , 24F
謝謝h大的回覆，關於11:17我驗證了，目前沒什麼問題
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08/21 23:12, 3年前 , 25F
。主要是這題是很久以前的建中推甄，偶然看到新見
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08/21 23:12, 3年前 , 26F
解時眼睛為之一亮，心情太過雀躍。
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08/21 23:12, 3年前 , 27F
感謝您的回覆，謝謝您
08/21 23:12, 27F
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