[分析] 有關實分析

看板Math作者 (小豪)時間3年前 (2020/08/13 00:08), 編輯推噓14(14推 0噓 24→)
留言38則, 4人參與, 3年前最新討論串1/1
這是有關使用 LDCT 的例子： t≧0 , n∈N 函數序列 f_n = ( 1 + t/√n )^n * exp(-(√n)t ) 需要有可積分的上界 請問如何證明 f_n ≦ (1+t)*exp(-t) ================================================ 一點想法：證明 f_n 遞減就好，但 f_{n+1}-f_n 或 f_{n+1}/f_n 都看不出來 用微分也看不大出來…… -- -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 112.104.139.31 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1597248536.A.9F5.html
推
08/13 08:19, 3年前 , 1F
Let g(z)= z^2 - 2z log(z) -1
08/13 08:19, 1F
→
08/13 08:20, 3年前 , 2F
It's easy to see g is strictly increasing for
08/13 08:20, 2F
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08/13 08:20, 3年前 , 3F
z in [1,infty) and g(1)=0
08/13 08:20, 3F
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08/13 08:22, 3年前 , 4F
Let h(y) = (2log(1+y))/y - 1/(1+y) - 1
08/13 08:22, 4F
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08/13 08:22, 3年前 , 5F
Note that h goes to 0 as y goes to 0
08/13 08:22, 5F
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08/13 08:24, 3年前 , 6F
Since for all positive y, g(1+y)/(y(y+1)) > 0
08/13 08:24, 6F
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08/13 08:25, 3年前 , 7F
h(y) < or = 0 for y in [0,infty)
08/13 08:25, 7F
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08/13 08:26, 3年前 , 8F
Given non-negative t, consider the function
08/13 08:26, 8F
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08/13 08:27, 3年前 , 9F
f(x) = (1+t/x)^(x^2)exp(-tx) defined on [1,inf)
08/13 08:27, 9F
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08/13 08:29, 3年前 , 10F
Then f'(x) = t f(x) h(t/x), which is
08/13 08:29, 10F
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08/13 08:30, 3年前 , 11F
non-positive
08/13 08:30, 11F
→
08/13 08:32, 3年前 , 12F
Note that f_n(t) = f(√n)
08/13 08:32, 12F
推
08/13 08:35, 3年前 , 13F
the idea is stupid but works
08/13 08:35, 13F
推
08/13 10:14, 3年前 , 14F
it may be better if i use the notation F_t(x) in
08/13 10:14, 14F
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08/13 10:14, 3年前 , 15F
stead of f(x)
08/13 10:14, 15F
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08/13 16:33, 3年前 , 16F
厲害！完成了，感謝~~
08/13 16:33, 16F
推
08/13 20:02, 3年前 , 17F
可參照"A Problem Seminar, Donald J Newman"第94題
08/13 20:02, 17F
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08/13 20:02, 3年前 , 18F
有想法一樣但作法不太一樣的證明
08/13 20:02, 18F
推
08/13 21:35, 3年前 , 19F
這題不是直接對 n 微分就好了嗎？
08/13 21:35, 19F
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08/13 22:09, 3年前 , 20F
你直接展開不就有 ( 1 + t/√n )^n < exp(√nt )
08/13 22:09, 20F
推
08/13 22:20, 3年前 , 21F
V大說的沒錯 "A Problem Seminar"就是對n微分 重點
08/13 22:20, 21F
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08/13 22:21, 3年前 , 22F
在微分後如何說明 導函數小於等於0
08/13 22:21, 22F
推
08/13 22:24, 3年前 , 23F
至於c大的不等式可以說明 f_n(t) < 1 但我不太明白
08/13 22:24, 23F
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08/13 22:24, 3年前 , 24F
接下來怎麼做
08/13 22:24, 24F
推
08/13 23:38, 3年前 , 25F
喔我瞭解了，不好意思剛剛看錯
08/13 23:38, 25F
推
08/13 23:41, 3年前 , 26F
如果你只要可積分的上屆，趨近0用常數壓，趨近infty
08/13 23:41, 26F
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08/13 23:42, 3年前 , 27F
抱歉我又錯了不要理我
08/13 23:42, 27F
推
08/14 00:11, 3年前 , 28F
log(f_1/f_n)的微分是(√n-1)t^2/(√n+t)(1+t)>0
08/14 00:11, 28F
推
08/14 00:36, 3年前 , 29F
c大漂亮地證明不等式的本身
08/14 00:36, 29F
推
08/14 00:43, 3年前 , 30F
抱歉，我的意思是你要證明exp((\sqrt{n}-1)t)>=
08/14 00:43, 30F
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08/14 00:44, 3年前 , 31F
(1+t/\sqrt{n})^n/(1+t). t=0成立，然後兩邊取log
08/14 00:44, 31F
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08/14 00:44, 3年前 , 32F
微分
08/14 00:44, 32F
推
08/14 00:52, 3年前 , 33F
??? 你那行不是證明了對於所有t log(f_1/f_n)非負
08/14 00:52, 33F
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08/14 00:52, 3年前 , 34F
所以f_1>= f_n
08/14 00:52, 34F
推
08/14 00:55, 3年前 , 35F
我不太懂你後來再講交叉相乘的用意?
08/14 00:55, 35F
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08/14 02:17, 3年前 , 36F
半夜腦袋不清楚0.0
08/14 02:17, 36F
→
08/14 08:38, 3年前 , 37F
XDD 直接對 f_n/f_1 微分 就會得到
08/14 08:38, 37F
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08/14 08:40, 3年前 , 38F
-[(√n-1)t^2*f_n]/[(t+1)(t+√n)f_1] < or = 0
08/14 08:40, 38F
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