關於dual norm的問題

看板Math作者 (jr80939393)時間5年前 (2020/08/11 21:35), 編輯推噓6(6推 0噓 17→)
留言23則, 1人參與, 5年前最新討論串1/1
請教板上的高手關於2.119(粉紅色標記)這個結果我一直想不懂， 下面兩張圖分別是文中提到的(2.39)與（2.96）， 最下面是我寫的想法，非常感謝！！https://i.imgur.com/sfeLTuf.jpg
https://i.imgur.com/Xu79TBl.jpg
https://i.imgur.com/5aFH87P.jpghttps://i.imgur.com/4DQtJEu.jpg
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推
08/11 22:22, 5年前 , 1F
本來想用Lagrange multiplier或Linear Programming
08/11 22:22, 1F
→
08/11 22:23, 5年前 , 2F
雖然可行 但打起來有點麻煩 冏
08/11 22:23, 2F
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08/11 22:25, 5年前 , 3F
所以用點高等線性代數的東西 令Q是正定矩陣滿足Q平
08/11 22:25, 3F
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08/11 22:26, 5年前 , 4F
方為P(這一定做得到因為P是正定矩陣)
08/11 22:26, 4F
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08/11 22:27, 5年前 , 5F
則由cauchy schwarz inequality 我們有
08/11 22:27, 5F
→
08/11 22:29, 5年前 , 6F
|u^tx| = |u^tQ Q^{-1}x| <= |Qu| |Q^{-1}x| =
08/11 22:29, 6F
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08/11 22:30, 5年前 , 7F
|u^tPu|
08/11 22:30, 7F
→
08/11 22:31, 5年前 , 8F
最大值可以用 x=Pu 得到
08/11 22:31, 8F
→
08/11 22:33, 5年前 , 9F
cauchy schwarz inequality右邊少了平方 很抱歉
08/11 22:33, 9F
推
08/11 22:39, 5年前 , 10F
這裡要注意的是 |u^tPu|=u^tPu 因為P是正定的
08/11 22:39, 10F
推
08/11 22:58, 5年前 , 11F
修但幾類 cauchy schwarz inequality右邊本來就不用
08/11 22:58, 11F
→
08/11 23:00, 5年前 , 12F
平方 所以原式前半沒有問題 而 |Qu| =
08/11 23:00, 12F
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08/11 23:01, 5年前 , 13F
(u^t Q^tQu)^{1/2} = (u^tPu)^{1/2}
08/11 23:01, 13F
推
08/11 23:13, 5年前 , 14F
不過最大值應該是用 x=(u^tPu)^{-1/2}Pu 來達到才對
08/11 23:13, 14F
推
08/11 23:17, 5年前 , 15F
符號有點混亂 不好意思
08/11 23:17, 15F
推
08/12 12:42, 5年前 , 16F
仔細一想 Lagrange multiplier好像也沒那麼難打
08/12 12:42, 16F
→
08/12 12:44, 5年前 , 17F
我們要求f(x)=u^tx在 g(x)<= 1上的極值 其中
08/12 12:44, 17F
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08/12 12:45, 5年前 , 18F
g(x)=x^tP^{-1}x 這裡因為domain是compact的 所以極
08/12 12:45, 18F
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08/12 12:46, 5年前 , 19F
值存在 因為f是線性的 極值會發生在邊界 考慮
08/12 12:46, 19F
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08/12 12:48, 5年前 , 20F
grad. f = s grad. g 則有 x= s^{-1}Pu 代回 g=1
08/12 12:48, 20F
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08/12 12:49, 5年前 , 21F
得到 s = 正負的 (u^tPu)^{-1/2} 所以在
08/12 12:49, 21F
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08/12 12:50, 5年前 , 22F
x=(u^tPu)^{-1/2}Pu f會有極大值u^tPu
08/12 12:50, 22F
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08/12 12:51, 5年前 , 23F
線性規劃也是差不多的計算
08/12 12:51, 23F
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