Re: [其他] TC題 (1) 多項式/微積分 (Sol)

看板Math作者TimcApple (肥鵝)時間4年前 (2020/05/14 21:38)推噓10(10推 0噓 12→)

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※ 引述《TimcApple (肥鵝)》之銘言： : Problem 1 : Γ1 為三次實係數多項式 y = f(x) : 有三根 -1, 0, 1, 首項係數為正 : Γ2 是 Γ1 以原點為軸心逆時針旋轉 90 度的圖形 : 已知 Γ1 和 Γ2 相切於 4 點 : 求兩圖形圍成的面積（紅色區域） : https://i.imgur.com/EIXV42t.jpg

Solution to Problem 1 顯然 f(x) = a(x-1)x(x+1), a > 0 a 改變時，Γ1 整個圖形上下延伸，Γ2 左右延伸很明顯會有一個，且唯一一個 a 讓兩圖形相切本題大致上分成兩個步驟 (1) 找出 a (2) 積分算出面積 (Step 1) <Sol 1> 真高中解法：見原題底下 LPH66 的詳解圖設第一象限的切點坐標 (u, v), u > v > 0 則顯然四切點為 (u, v), (-v, u), (-u, -v), (v, -u) 由於切點在圖形上，可得 v = a (u^3 - u) ...(1) -u = a (v^3 - v) ...(2) 由兩切點的切線互相垂直可得 a (3u^2 - 1) a (3v^2 - 1) = -1 ...(3) 由 (1)/(2) 整理可得 u^4 + v^4 = u^2 + v^2 ...(4) 由 (1)*(2) 可得 a (u^2 - 1) a (v^2 - 1) = -1 ...(5) 比較 (3), (5) 並化簡可得 u^2 + v^2 = 4 u^2 v^2 ...(6) 合併 (4), (5) 即可解出 u^2 = (3 + √3)/4, u = (1/2) √(3 + √3) v^2 = (3 - √3)/4, v = (1/2) √(3 - √3) 代回 (5) 可求出 a = 2√2 <Sol 2> 近高中解法：見 LimSinE 的回文 (u, v) 定義同 Sol 1 由 y = a(x^3-x) 和 -x = a(y^3-y) 互相代入可得 9 次式 -x = a (a^3 (x^3 - x)^3 - a(x^3 - x)) 0 = a^4 x^9 - 3 a^4 x^7 + 3 a^4 x^5 - (a^4+a^2) x^3 + (a^2+1)x 由於切點代表有重根，其 9 根應為 u, u, -u, -u, v, v, -v, -v, 0 將該式除以 x (把 0 這根拿掉)，並設 X = x^2 可得 0 = a^4 X^4 - 3a^4 X^3 + 3a^4 X^2 - (a^4+a^2) X + (a^2+1) 應有 4 根為 u^2, u^2, v^2, v^2, 所以事實上可以寫成平方式 0 = (a^2 X^2 + b X + c)^2 展開後比對係數可得到 a^2 = 8, a = 2√2 <Sol 3> 個人第一次解題使用的解法設 R(x) 為上面的 9 次式，微分得 R'(x) 為 8 次式然後對 R(x), R'(x) 輾轉相除法，直到 3 次式以下歸 0，比對係數得到 a = 2√2 這個方法難算到爆，乖孩子不要學(欸算是個人的壞習慣吧，當初畫出圖形的時候，只猜想理論上有解不知道有沒有好解法，會下意識使用最暴力的方法剛過去 <Sol 4> 使用 Wolframalpha 將 R(x) = 0 丟進去 Wolframalpha 給它解它會算出一個很醜的大根號，裡面有一堆 a^2 - 8 基於切點應該是特殊情況，猜 a^2 = 8 是人之常情想要驗證的話，拿 Desmos 或 Geogebra 畫一下就解決了 (Step 2) 這邊就不詳述了，方法有很多種我自己使用的方法如下： https://i.imgur.com/PMWqbJk.png

1/4 面積 = 綠 + 紅 = (-藍 + 綠) + (紅 + 黑) = int_(-u)^(-v) a (x^3 - x) dx + uv = 2√2 (v^4/4 - u^4/4 - v^2/2 + u^2/2) + uv = 3√6 / 8 因此面積 = 3√6 / 2 ======================================================= Bonus Problem: 可以看出原題我是用 Desmos 作圖雖然 Geogebra 功能比較強，但我的電腦爛手機爛易 lag，所以偏好用 Desmos Desmos 畫面積的功能有限，要畫出我那張圖並不容易第一個用 Desmos 複製出我那張圖的有 50 P 獎勵第一個猜中我大致上用什麼方法畫的也有 50 P 獎勵 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 101.12.71.213 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1589463507.A.3A8.html

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chemmachine

05/14 21:44, 4年前 , 1^F

05/14 21:44, 1^F

→

chemmachine

05/14 21:44, 4年前 , 2^F

05/14 21:44, 2^F

推

chemmachine

05/14 21:47, 4年前 , 3^F

05/14 21:47, 3^F

嗯所以沒用的不好意思ow o 不過我可以說明一下，Desmos 畫面積的方法其實只有一種： f(x) < y < g(x) { a < x < b } 以及 x, y 互換，或是 < 改成 <= 之類的而 Desmos 最糟糕的地方是，它會畫 f(x), g(x) 的線所以如果亂切的話，會冒出一堆莫名其妙的線你說為啥我不去用 geogebra 就好因為我覺得用 desmos 畫是一種挑戰XD

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qazqwe

05/15 01:21, 4年前 , 4^F

05/15 01:21, 4^F