[分析] 請問哪有legendre function正交性質的證明

看板Math作者 (今朝有酒今朝醉)時間4年前 (2020/05/13 23:32), 編輯推噓3(3推 0噓 11→)
留言14則, 3人參與, 4年前最新討論串1/2 (看更多)
想問一下 哪邊有legendre function和他的associated 的形式的正交證明？ 正交的係數我一直不知道該怎麼導 麻煩各位大哥告訴我 謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 117.19.128.14 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1589383968.A.A3B.html
推
05/13 23:44, 4年前 , 1F
假設n,m相異，把P_n和P_m代入Legendre微分方程式裡
05/13 23:44, 1F
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05/13 23:45, 4年前 , 2F
P_n那一式乘上P_m，P_m那一式乘上P_n，兩式相減
05/13 23:45, 2F
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05/13 23:46, 4年前 , 3F
整理成一大個d/dx(...)的形式，兩邊對x從-1到1積分
05/13 23:46, 3F
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05/13 23:47, 4年前 , 4F
積完之後因為n,m相異，就會跳出你要的正交性結果了
05/13 23:47, 4F
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05/13 23:49, 4年前 , 5F
這個證明想法跟Bessel函數正交證法差不多，不過
05/13 23:49, 5F
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05/13 23:49, 4年前 , 6F
Bessel比較煩就是了，性質太多分三類外還各有修正型
05/13 23:49, 6F
推
05/14 01:18, 4年前 , 7F
如果你想要的東西是歸一化係數，一個常用的作法是
05/14 01:18, 7F
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05/14 01:18, 4年前 , 8F
把生成函數平方再積分。
05/14 01:18, 8F
推
05/14 16:13, 4年前 , 9F
如果是legendre polynomials的話，
05/14 16:13, 9F
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05/14 16:14, 4年前 , 10F
從它的generating function 去做就知道係數了
05/14 16:14, 10F
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05/14 16:15, 4年前 , 11F
generating function 積出來是(1/s)ln[(1+s)/(1-s)]
05/14 16:15, 11F
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05/14 16:17, 4年前 , 12F
弄成無窮級數就是summation 2/(2n+1)*s^{2n}
05/14 16:17, 12F
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05/14 16:17, 4年前 , 13F
兩邊一比就洨都知道了
05/14 16:17, 13F
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05/14 16:19, 4年前 , 14F
講錯，是積generating function 的平方的拉~
05/14 16:19, 14F
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