[線代] 可逆矩陣B, 證明(B^T)B是SPD

看板Math作者 (5566得第一)時間4年前 (2020/04/29 07:28), 編輯推噓5(5推 0噓 11→)
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https://i.imgur.com/7evJfE0.jpg
我已經證出☆大於等於零, 因為平方和一定大於等於零 可是不知道怎麼證☆大於零 我知道與det(B)有關, 可是det(B)很難寫出來 或者我應該從SPD矩陣的所有eigenvalue大於零下手? 可是(B^T)B的所有eigenvalue也很難寫出來 謝謝大家! -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 98.185.241.239 (美國) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1588116530.A.E05.html
推
04/29 07:31, 4年前 , 1F
SPD的S是semi,不是symmetric;只要證>=0就好
04/29 07:31, 1F
推
04/29 07:34, 4年前 , 2F
若加上B是nonsingular,則考慮內積(x,Ax)=(Bx,Bx)
04/29 07:34, 2F
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04/29 07:34, 4年前 , 3F
=0 iff Bx=0 iff x=0
04/29 07:34, 3F
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04/29 07:38, 4年前 , 4F
不好意思沒寫清楚 題目是Symmetric Positive Defini
04/29 07:38, 4F
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04/29 07:38, 4年前 , 5F
te沒錯
04/29 07:38, 5F
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04/29 07:38, 4年前 , 6F
謝謝! 我來試試看內積
04/29 07:38, 6F
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04/29 07:54, 4年前 , 7F
x'(B'B)x = (Bx)'(Bx) = 0 iff. Bx = 0,
04/29 07:54, 7F
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04/29 07:55, 4年前 , 8F
B nonsingular, so Bx = 0 iff. x = 0.
04/29 07:55, 8F
推
04/29 07:56, 4年前 , 9F
https://reurl.cc/nzrj3l 它又symmetric又semi
04/29 07:56, 9F
推
04/29 08:04, 4年前 , 10F
說錯是正定非半正定不semi
04/29 08:04, 10F
推
04/29 08:14, 4年前 , 11F
spd是symmetric positive-definite沒錯，對稱顯然
04/29 08:14, 11F
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04/29 08:16, 4年前 , 12F
正定的部分，原po的寫法接上yhliu大的寫法就做完了
04/29 08:16, 12F
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04/29 08:17, 4年前 , 13F
補充一個延伸考點，如果把B條件放鬆：B是任意的m*n
04/29 08:17, 13F
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04/29 08:18, 4年前 , 14F
矩陣，試證明矩陣BB'或B'B其中一個是spd。
04/29 08:18, 14F
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04/29 08:20, 4年前 , 15F
請問這個方法可以
04/29 08:20, 15F
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04/29 08:23, 4年前 , 16F
了解了, 感謝各位大大! 你們真熱心
04/29 08:23, 16F
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