[中學] 不盡重複物排列問題

看板Math作者 (阿比)時間4年前 (2020/04/06 03:57), 4年前編輯推噓2(2推 0噓 10→)
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各位先進 小的不才 想請問基礎的排列問題 若要將n個不完全相異物進行排列 為何重複的種類的總和要用除的而不是減的？ 例如有3顆白球、2顆紅球及2顆黃球 我們將其排列的總和為7!/3!*2!*2! 但為什麼不是7!-3!*2!*2! 我知道用減的一定會少 答案一定不對 但這也僅止於強記的階段而已 我想知道原理是什麼 用除的跟用減的到底差在哪裡 請賜教 謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.36.180.159 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1586116645.A.DDF.html
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因為這不是單一個排列多算, 而是所有排列都有
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那因為所有排列多算的狀況是一樣的, 我們可以把所有
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對應同一種排列的狀況整理成一組
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每一組的種類數是一樣多的, 以此例來說每組都有
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3!*2!*2! 種排列, 因此總組數即是 7! 除以這個數量
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推
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或者有另一種看法是, 這裡的除法是乘法原理倒過來用
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先進行不盡相異物排列, 再對同一顏色進行排列
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即能得到全相異物的排列數
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也就是 不盡相異物 * 同種排列 * 同種排列 = 全排列
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於是 不盡相異物 = 全排列 / (同種排列 * 同種排列)
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前一種看法的"分組每組數量相同"體現在正向乘法原理
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因此除法的意義也就只是去除因此造成的所有排列多算
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用乘法原理去解釋好像比較容易懂 那3!*2!*2!的意思是把三種不同顏色的球都當作不一樣各自排列後再以「組」為單位再進 行第二次排列嗎？ 然後7!則是先把球都當成不一樣的，直接進行相異物排列 所以我可以想成是7!種不同的排列方式分進3!*2!*2!組裡去看每一組的排列數嗎？因為這 幾組其實都是同一組，只是一開始被假設為不同球種而已 ※ 編輯: nest0380 (114.36.180.159 臺灣), 04/06/2020 08:42:13
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