[分析] 面積基本公式能不經由有理數概念證明嗎?

看板Math作者 (天氣預報)時間6年前 (2020/02/11 21:48), 編輯推噓0(0推 0噓 16→)
留言16則, 2人參與, 6年前最新討論串1/1
因為不是數學系專門的研究者，想問這個基本的問題： 印象中面積的基本公式，比如長方形面積等於長乘寬的公式， 是先用有理數的概念，以邊長為單位長度一的正方形的面積為一的基礎去推導， 證明了長度為有理數的狀況，再以窮舉法補證長度為無理數的狀況。 想請問是否一定得先經由有理數的概念來證明？ 有沒有不經由有理數概念的證明出現過？ 或是有沒有相關研究，去探討過這樣的證明是否可能？ 請各位高手給個科普的解答，感謝！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 175.181.213.121 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1581428890.A.138.html
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02/11 21:50, 6年前 , 1F
不經過的話有什麼好處？
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02/11 21:53, 6年前 , 2F
是在念微積分與分析相關的理論，產生這樣的想法，相
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02/11 21:54, 6年前 , 3F
反的，是意識到經由有理數概念的證法好處多多，但卻
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02/11 21:55, 6年前 , 4F
有疑問這是否僅是"好處"而已？會不會根本是必須的？
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02/11 21:56, 6年前 , 5F
但又不是數學系專門的專家，故來板上請教大家的意見
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02/11 21:57, 6年前 , 6F
謝謝您的回答...
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02/11 22:00, 6年前 , 7F
要說是必須的話，當然是必須，因為除非你一開始就不
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是用數系擴增的方式建構數字，不然都是從自然數開始
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所以如果後來真有方法硬是繞掉有理數，也只是表象
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02/11 22:02, 6年前 , 10F
而如果一開始就不是用自然數開始建構，那樣的理論系
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02/11 22:03, 6年前 , 11F
統就不一定會跟我們想要有的幾何性質能有所掛鉤了
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02/11 22:11, 6年前 , 12F
謝謝高手回答，其實這個疑問就是在想到有理數系經由
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02/11 22:14, 6年前 , 13F
歐氏幾何的畢氏定理推導，發現不能滿足數線完備性，
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02/11 22:15, 6年前 , 14F
故而想到那在非歐幾何是否仍舊會推導出矛盾結果，但
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02/11 22:15, 6年前 , 15F
這種問題超出我這種非專業人士的程度太多，所以提出
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02/11 22:17, 6年前 , 16F
基本的面積問題解解饞，謝謝您的解答！
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