[分析] 有關sin(nx) partial sum的問題

看板Math作者std92050 (比較宅的韓國瑜)時間6年前 (2019/12/29 11:55)推噓4(4推 0噓 3→)

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m 我在想證明 Σ sin(nx) 是bounded的我是先換成exp(inx)用等比(公比≠1 x≠2kπ) n=1 再取虛部換回來算出來是 sin(x)-sin((m+1)x)+sin(mx) ____________________________ 2-2cos(x) 看起來會x接近 2kπ的時候會炸用羅必達的話會是0 但放到desmos上面看 m不是整數時在2kπ仍然會炸掉但m是整數時又是正常 bounded的雖然跟我原先想證的無關但看起來跟我用羅必達得到的結果不一樣感覺很奇怪總結一下我想問的事 1. 把partial sum 算出來之後看起來分子是bounded的分母bounded above 也用羅必達check分母趨近0時不會炸掉了要怎麼進一步證明他是bounded的甚至推出 │ m │ │ 1 │ │Σ sin(nx)│ < = │________│ │n=1 │ │sin(x/2)│ 2.m不是整數的時候為啥函數會出狀況而且跟羅必達得到的結論相反 ~ -- https://i.imgur.com/0Jp4hXE.jpg