Re: [微積] 微分的題目
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這題是結合微積分基本運算及數學歸納法的題目，題目使用分式造成直接微分的困難性
。所以解答運用了一些巧思，將複雜的微分變得較為規律性。
以下開始解題
令 f(x) = 1/(x^2016-1)
g(x) = x^2016 -1
題目要求f(x) 的n次微分表現形式
假設符號fn(x) 為 f(x) 的n次微分
即有 fn(x)= Pn(x)/( g(x))^(n+1)
實在摸不著頭緒呢，先從P0開始好了
0次微分是什麼呢，很簡單，就是原本的方程式
所以 1/(x^2016-1) = P0(x)/(x^2016-1)^(0+1)
相互比對之下，可知道P0(x) = 1 ,那 P0(1) =1 是相當自然的。
接下來要來解一次微分啦
f'(x)=d/dx(1/g(x)) = -1/(g(x))^2*g'(x)
(chain rule)
再重抄上面的式子
得 -g'(x)*1/(x^2016-1)^2 =P1(x)/( x^2016-1)^2
比對之下可得
P1(x) = -g'(x) = -2016x^2015
簡單帶入1 就可得到 P1(1) =-2016
再來要全部用代號解題了
先準備工具 g(1) = 1^2016 - 1 = 0
g'(1) = 2016*(1)^2015 =2016
P1(1)=-2016
f''(x) =( P1(x)/g^2)' = -2*g'*P1(x)/g^3+P1'(x)/g^2
看起來真的很複雜，硬解一定會忙中有錯，我們稍微整理式子可得
f" (x)= [-2*g'(x)*P1(x)+P1'(x)*g(x)]/g^3(x)
題目要 P2(x) 的表現形式
所以 f''(x)=P2(x)/g^3
兩相對照就得到
P2(x) = -2*g'(x)*P1(x)+ P1'(x)*g(x)
還好題目只想求P2(1), 把1帶入運用剛剛列好的工具，就可以得到
P2(1) = 2*(2016)^2
P3也是一樣
f"'(x) = (P2(x)/g^3)'
一樣運用微分運算法則
可得
f"'(x) = -3*g'(x)*P2(x)/g^4+P2'(x)/g^3
稍微整理及兩相比對後可以得到
P3(x) = -3*g'(x)* P2(x)+P2'(x)*g(x)
題目求P3(1),把1帶入可得
P3(1) = -3*g'(1)*P2(1)+P2'(1)*g(1)
= -3*2*(2016)^3
把剛剛求出的數字整理一下
P0(1)=1
P1(1)= -2016
P2(1)= 2*(2016)^2
P3(1)=-3*2*(2016)^3
可以看出趨勢
Pn(1) = -(1)^n*n!*(2016)^n, n>=0
之後就是以數學歸納法證明這樣的趨勢正確，整題就解完了
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