[分析] 角度 & sinx 定義問題

看板Math作者 (QQ)時間4年前 (2019/10/26 02:44), 4年前編輯推噓6(6推 0噓 13→)
留言19則, 3人參與, 4年前最新討論串1/1
想先提個問題來源： 高三的證明 lim_{x→0} sinx/x = 1 時, 在單位圓上"畫圖證明" sinx<x<tanx,0<x<pi/2 但是之前有印象有人在討論這樣算是證明嗎? 更延伸到平面幾何所推導出的結果 是否是對的論證? 比如正弦餘弦之類的定理 ----------------------------------------------------------------------- 嘗試回答這個問題時, 我下意識認為只要有定義就不會是問題 要證明 lim_{x→0} sinx/x = 1, 當然要先定義sinx 而sinx雖然有幂級數定義, 但是現在是嘗試說明單位圓上"畫圖證明"是有嚴格定義的 所以我們定義 sinx 為 角度為x, 斜邊為1的直角三角形的對邊 但是問題馬上就來了, 要定義角度、斜邊、直角三角形...整個超級麻煩 有去google角度的定義, 但是都沒找到想要的 我有嘗試用以下方式去定義: 令 S:={(x,y): x^2+y^2=1} 為單位圓 1 對於 -1=<x<=1, 我們可以定義角度θ(x):=∫1/(1+t^2)^0.5 dt, 為一瑕積分 x 這個積分是α(t) = (t,(1-t^2)^0.5) 在t€[x,1]的曲線長度定義 (順帶一提: (a) θ(x)其實就是arccos(x), 前提是cosx有定義後才能這麼說, 現在 還沒有任何三角函數的定義 (b) 會這樣定義是想直接把角度定義為單位圓弧長, 跟現在一樣 (c) 需要證明瑕積分收歛 ) 可以證明θ：[-1,1]→[0,T]是絕對遞減的, 而T是θ(-1), 尚不知道T就是π (或是可以直接定義π:=T) 因此定義 cosy:=θ^-1(y)：[0,T]→[-1,1] (因為θ有反函數) 再來定義 siny:=(1-θ^-1(y)^2)^0.5 最後還需要把[0,T]延伸到整個實數 整體變得好複雜而且好怪, 像是 sin^2y + cos^2y = 1 這個性質變成by definition...(雖然不同定義會有這樣結果不意外) =========================================================================== 最後總結為兩個問題： 1. 定義sinx為"角度為x, 斜邊為1的直角三角形的對邊", 這是否是well-defined? 還是說問題就是在有一派的人認為把三角形畫出來就是三角形的well-defined了? 可是當我問出這個問題時也覺得很奇怪, 是否well-defined應該不會因人而異 所以平面幾何是否是well-defined應該是可以判斷對錯的命題吧!? 2. 有非平面幾何的定義方式參考資料嗎? 我那樣定好累...還是就是那樣@@? 謝謝幫忙~~~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.110.248.101 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1572029040.A.227.html ※ 編輯: znmkhxrw (123.110.248.101 臺灣), 10/26/2019 02:45:57
推
10/26 03:12, 4年前 , 1F
總是有一邊會很麻煩。如果先用power series定義sin
10/26 03:12, 1F
→
10/26 03:13, 4年前 , 2F
，那sinθ=對邊/斜邊就變成是一個定理而需證明。
10/26 03:13, 2F
→
10/26 03:33, 4年前 , 3F
嗯嗯 這個理解 只是定義sinx為[角度x的直角三角形
10/26 03:33, 3F
→
10/26 03:33, 4年前 , 4F
其對邊除以斜邊]這個敘述是否是良好定義...我覺得從
10/26 03:33, 4F
→
10/26 03:33, 4年前 , 5F
集合論出發的話應該是否定的
10/26 03:33, 5F
推
10/26 03:59, 4年前 , 6F
會嗎？你先建構歐氏空間，那麼有相同銳角的直角三角
10/26 03:59, 6F
→
10/26 04:00, 4年前 , 7F
形就都相似了，亦即邊長比例相同，從而定義良好。
10/26 04:00, 7F
可是問題就出現在歐式空間中 這句話"銳角的直角三角形"必須定義角度,銳,直角,三角形 因此我才會在文中先定義角度為那個積分值 才想問說角度的定義從集合論出發就是這樣嗎? 只是我從來都沒看過這種定法, 覺得是否有其他定義方式來定義銳角為x的直角三角形?
推
10/26 06:10, 4年前 , 8F
power series
10/26 06:10, 8F
我知道這條路的定義法 ※ 編輯: znmkhxrw (123.110.248.101 臺灣), 10/26/2019 14:19:32
推
10/26 15:41, 4年前 , 9F
就原本的問題來說你可以直接由|cosx|<=1透過微分和
10/26 15:41, 9F
→
10/26 15:41, 4年前 , 10F
簡單的代數運算來得到sinx<=x<=tanx你甚至不需要知
10/26 15:41, 10F
→
10/26 15:42, 4年前 , 11F
道這些函數怎麼來 單純用這個identity證明極限存在
10/26 15:42, 11F
→
10/26 15:42, 4年前 , 12F
因為在分析上真的要說"嚴謹"的方法就是用power seri
10/26 15:42, 12F
→
10/26 15:43, 4年前 , 13F
es定義回去(並且證明他們是同一個函數)
10/26 15:43, 13F
→
10/26 15:43, 4年前 , 14F
其他先用解析幾何再反過來定義三角函數只是同一件事
10/26 15:43, 14F
→
10/26 15:43, 4年前 , 15F
繞遠路而已
10/26 15:43, 15F
→
10/26 15:44, 4年前 , 16F
你可以google參考一下"如何定義三角函數才算嚴謹?"
10/26 15:44, 16F
推
10/26 15:46, 4年前 , 17F
而且三角函數從第一象限推廣到實數定義域的時候就
10/26 15:46, 17F
→
10/26 15:47, 4年前 , 18F
已經捨棄"三角形"這個說法了 而是直接用單位圓座標
10/26 15:47, 18F
我知道從冪級數這個嚴格定義出發可以得到那些結果, 但是我問題是傳統的方式定義sinx 為角度為銳角x的直角三角形其對邊除以斜邊, 這方式"是否嚴謹", 如果答案是"是"的話, 代表就一定會有角度的嚴格定義, 那是像我那樣定嗎? 如果數學家公認那種傳統的定義方式不嚴謹只是恰好結果是對的, 也是回答到我的問題了 在stackoverflow爬到一樣的問題 https://reurl.cc/zylqjk 看起來真的很麻煩... ※ 編輯: znmkhxrw (123.110.248.101 臺灣), 10/26/2019 19:27:28
推
10/26 20:41, 4年前 , 19F
傳統的角度定義……就是歐氏空間單位圓的弧長啊。
10/26 20:41, 19F
了解~那就是那樣定了吧 感謝~ ※ 編輯: znmkhxrw (123.110.248.101 臺灣), 10/26/2019 23:18:58
‣ 更多 znmkhxrw 的文章
文章代碼(AID): #1Tiq9m8d (Math)