[微積] 不太清楚最小上界，和為何Q不完備？

看板Math作者 (duck)時間4年前 (2019/10/19 10:46), 編輯推噓3(3推 0噓 16→)
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剛google了，上界的定義，似乎算是理解他的含義和定義 但是在最小上界，好像就是上界中最小的上界，我看了維基百科 寫的很複雜看不懂，然後 去看了百度一些關於最小上界的說明 但還是有點似懂非懂，所以希望版上的神人們，可以 比較白話地，讓我理解何謂最小上界，感謝大家了。 譬如，為什麼一個集合E 收集有理數X，條件是x^2<2 , 則supE是根號2？ 這題好像是在證明，Q是不完備的，能否也說明，如何證明呢？ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 42.77.127.31 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1571453207.A.3D5.html
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一個實屬子集合的最小上界M直接代表兩個意思:1.M是
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上界 2.M是最小的, 你初學看不懂的定義是後者, 那
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個定義是闡述如何描述"最小", 而其定義的白話文就是
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"比M小的值就一定不是上界", 代表你拿比M小的值出
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來, 一定會有某個集合的元素超出去, 因此M就是最小
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的
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第二個問題的話很多地方都有證 就是要說明supE>0且s
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upE^2 = 2
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第三個問題的話 你知道完備性嗎? 完備性是定義在可
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以定義距離函數的空間, 嚴格定義上我們定義一個賦距
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空間是完備的 if 這個空間所有的柯西列都會斂. 白
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話文來說, 你在這個空間任意找一個有"index夠大時,
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任兩個數列值就會夠近"這個性質的數列, 那麼這個
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數列就會在這個空間有收斂值, 也就是說存在一個值L
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使得這個數列收斂到L
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所以第二個問題可以說明不完備是因為你可以藉由那
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個集合找到一個有理數列收斂到無理數, 而收斂數列
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本身一定是柯西列, 所以等於你找到一個柯西數列不
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收斂在Q
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