[分析] Is C(K,R) an algebra?

看板Math作者 (QQ)時間4年前 (2019/10/04 02:32), 4年前編輯推噓3(3推 0噓 5→)
留言8則, 4人參與, 4年前最新討論串1/1
C(K,R):={f：K→R│f continuous}, K compact, R real numbers 想請問任何compact K都會讓C(K,R)是algebra嗎? 也就是說要證明： (1) C(K,R)封閉性 (2) C(K,R)有常數1函數 (3) K中任兩相異點x,y都能找到f€C(K,R)使得f(x)與f(y)相異 其中(1),(2)顯然, 問題就在於(3)該怎麼general的構造呢? 當K=[a,b]時可以用線性內插得到(3) 但是general的K該如何得到(3)呢? 謝謝幫忙！ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 123.110.248.101 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1570127568.A.1FE.html
推
10/04 04:17, 4年前 , 1F
如果你只是要manifold的話，並不難做啦。
10/04 04:17, 1F
推
10/04 09:45, 4年前 , 2F
Urysohn Lemma
10/04 09:45, 2F
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10/04 10:11, 4年前 , 3F
V大意思是K manifold好造 general K未知嗎
10/04 10:11, 3F
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10/04 10:11, 4年前 , 4F
L大我查查感恩
10/04 10:11, 4F
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10/04 10:17, 4年前 , 5F
查完Urysohn引理後 compact K只要多加上T_2這個條
10/04 10:17, 5F
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10/04 10:17, 4年前 , 6F
件就會讓C(K,R)是algebra
10/04 10:17, 6F
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10/04 10:17, 4年前 , 7F
看起來general K應該會有反例@@
10/04 10:17, 7F
整理一下, 會有這問題是因為在開放式課程聽到Stone-Weierstrass時有說到C(K,R)是tri vial algebra 想了一下發現(3)不trivial 不過配合L大講的Urysohn引理, 高微探討的compact set都是在metric space, 自然會是T _2(Hausdorff space), 所以可以用引理來說明(3)是成立的 而wiki裡面的S-W貌似不受限metric space, 所以看到其陳述時它把K直接假設為compact Hausdorff 這樣應該就沒問題了~ ※ 編輯: znmkhxrw (42.72.239.204 臺灣), 10/04/2019 10:26:14
推
10/04 16:25, 4年前 , 8F
algebra沒有第三個條件...
10/04 16:25, 8F
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