[其他] 關於對角論證法的疑問

看板Math作者 (TPM)時間6年前 (2019/08/02 03:47), 編輯推噓7(7推 0噓 37→)
留言44則, 5人參與, 6年前最新討論串1/1
手機排版，格式跑掉請見諒! 1. 喬治·康托爾利用對角論證法 證明了實數集為不可數無限集 但小弟有另一種構造方式 會使實數集成為可數無限集 懇請高手指點迷津 如下: x屬於自然數 構造一函數f(x)=0.(x的倒序) ex.f(3654)=0.45630000... 其中定義域為自然數 值域為[0,1]間的實數 則自然數和位於[0,1]間的實數 有雙射之關係 故[0,1]間的實數為可數無限集 (和對角論證法給出的結果不同 2. 小弟對對角論證法有一些疑問 若對角論證法有效 會有矛盾之結果(將實數證法拿來證自然數) 如下: 由自然數所構成之序組 利用對角論證法 可得到一串正整數 第k位與序組第k個數字相異(缺位視為0) 故此數不在自然數集合中 但此數仍屬於自然數 矛盾 故自然數為不可數集 (和定義矛盾 小弟目前讀高中，背景知識貧乏 懇請各位以較淺顯之方式 指出小弟的謬誤 萬分感謝~ -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.141.11.184 (臺灣) ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1564688847.A.96B.html
推
08/02 04:44, 6年前 , 1F
1.你有注意到你的構造只用到有限小數嗎？
08/02 04:44, 1F
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08/02 04:45, 6年前 , 2F
你的「實數系」沒有1/3，也沒有√2，更沒有π。
08/02 04:45, 2F
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08/02 04:48, 6年前 , 3F
2.問題出在「但此數仍屬於自然數集」。
08/02 04:48, 3F
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08/02 04:49, 6年前 , 4F
你認為「...99924501」是一個自然數嗎？
08/02 04:49, 4F
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08/02 04:50, 6年前 , 5F
當高位數不都是 0 的時候就不是一個自然數。
08/02 04:50, 5F
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08/02 04:52, 6年前 , 6F
1.修正兩點：1/√2、1/π。
08/02 04:52, 6F
推
08/02 07:47, 6年前 , 7F
你的函數要把哪個自然數映到0.111111111111....？
08/02 07:47, 7F
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08/02 08:53, 6年前 , 8F
感謝提點，所以我的盲點應該是在自然數集內的數雖
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08/02 08:53, 6年前 , 9F
然無窮盡，但每一個自然數集合內的數都永遠有至少
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08/02 08:53, 6年前 , 10F
一個大於己身的數，因此像無窮小數這類擁有無限位
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08/02 08:53, 6年前 , 11F
數的數，逆序後得到的數，永遠無法找到最高位，因
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08/02 08:53, 6年前 , 12F
此不屬自然數。
08/02 08:53, 12F
推
08/02 12:39, 6年前 , 13F
有一點點不太對, 你這兩個問題的核心其實是在
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08/02 12:39, 6年前 , 14F
"自然數有有限位數"這個事實上
08/02 12:39, 14F
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08/02 12:40, 6年前 , 15F
跟什麼"有至少一個大於己身的數"比較沒有關連
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08/02 12:40, 6年前 , 16F
"永遠無法找到最高位"這句話反而比較有碰到這個方向
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08/02 12:45, 6年前 , 17F
f(x) x倒序沒有特別用處 跟不倒序沒兩樣
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08/02 13:03, 6年前 , 18F
回A大，倒序是為了避免1和10,100,1000對應到同一個
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08/02 13:03, 6年前 , 19F
實數0.100000...
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08/02 13:25, 6年前 , 20F
回L大，我的想法是從自然數恒有一大於己身之自然數
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08/02 13:25, 6年前 , 21F
推得自然數位數有限。如果有一自然數非有限位數，
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08/02 13:25, 6年前 , 22F
那就沒有一自然數會大於他，因為此數永遠比給定之
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08/02 13:25, 6年前 , 23F
自然數更高位，和自然數之定義不合。
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08/02 13:30, 6年前 , 24F
簡而言之，就是自然數恒有一大於己身之自然數只是
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08/02 13:30, 6年前 , 25F
幫助釐清思路的性質罷了~
08/02 13:30, 25F
推
08/02 23:34, 6年前 , 26F
如果這是你的思路那也 OK, 我只是想指出這個性質
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08/02 23:34, 6年前 , 27F
不需要這種前提也可以知道
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08/02 23:37, 6年前 , 28F
唔嗯, 稍微思考了一下, 我想如果你的"自然數"
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08/02 23:38, 6年前 , 29F
一開始就沒有"有限位數"這個前提的話那確實會需要
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08/02 23:38, 6年前 , 30F
只是我很好奇為什麼會有這樣子的起始理解...
08/02 23:38, 30F
推
08/03 00:55, 6年前 , 31F
...111 無限多位，認定 ...112 比他大，好像不會有
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08/03 00:56, 6年前 , 32F
什麼矛盾啊。無限多位不見得導致找不到更大的東西。
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08/03 00:57, 6年前 , 33F
不過，不建議你朝這個方向思考，會牽扯太多跟你目前
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08/03 00:58, 6年前 , 34F
的問題無關的主題。
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推
08/03 02:07, 6年前 , 35F
好像也是 XD 又稍微想了一下, 他的邏輯好像是
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08/03 02:08, 6年前 , 36F
如此做找不到最高位→矛盾, 所以其實原本就隱含了
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08/03 02:08, 6年前 , 37F
"自然數有最高位"這個理由, 而它是有限位數的推論
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08/03 02:09, 6年前 , 38F
也就是說...原 PO 實際上是用了個循環論證
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08/03 02:09, 6年前 , 39F
但卻找到了他自己原本隱含的前提
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08/03 02:10, 6年前 , 40F
另外我本來就知道有無限多位整數的數的理論
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08/03 02:11, 6年前 , 41F
(例如 p-adic 之類的), 不過那顯然不是這裡在談的XD
08/03 02:11, 41F
推
08/03 21:14, 6年前 , 42F
是啊。自然數位數有限 <=> 10^n 趨向無窮大。
08/03 21:14, 42F
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08/03 21:14, 6年前 , 43F
只是要用皮亞諾那套把這個定理證出來好像有點煩……
08/03 21:14, 43F
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08/04 01:24, 6年前 , 44F
感謝各位的分析
08/04 01:24, 44F
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